Мета курсової роботи
Досліджувати і вивчити геометричні властивості кривих другого порядку (еліпса, гіперболи і параболи), що представляють собою лінії перетину кругового конуса з площинами, не проходять через його вершини, а також навчитися будувати графіки даних кривих в канонічній і прямокутної декартовій системах координат.
Постановка завдання
Дано рівняння кривої другого порядку:
. (1)
Завдання . Для даного рівняння кривої другого порядку з параметром:
I . Визначити залежність типу кривої від параметра за допомогою інваріантів.
II . Привести рівняння кривої при до канонічного виду, застосовуючи перетворення паралельного переносу і повороту координатних осей.
III . Знайти фокуси, директриси, ексцентриситет і асимптоти (якщо вони є) даної кривої другого порядку.
IV . Отримати рівняння канонічних осей в загальній системі координат.
V . Побудувати графік кривої в канонічної і загальної системах координат.
Отримання канонічної системи координат. Побудова графіків
I . Тип кривої другого порядку в Залежно від параметра
У прямокутній декартовій системі координат крива другого порядку задається в загальному вигляді рівнянням:
,
якщо хоча б один з коефіцієнтів,, відмінний від нуля.
Для рівняння кривої другого порядку (1) маємо:
Тепер визначимо тип даної нам кривої (1) за допомогою інваріантів. Інваріанти кривої другого порядку обчислюються за формулами:
;
;
.
Для даної кривої вони дорівнюють:
1). Якщо, то рівняння кривої (1) визначає криву параболічного типу, але. Таким чином, якщо, то рівняння (1) визначає криву параболічного типу . При цьому, тобто: якщо, то рівняння (1) визначає параболу .
2). Якщо, то дана крива - центральна. Отже, при дана крива - центральна .
В· Якщо, то рівняння (1) визначає криву еліптичного типу. Отже, якщо, то дана крива є крива еліптичного типу . Але при цьому. Відповідно до ознак кривих другого порядку отримаємо: якщо, то рівняння (1) визначає еліпс .
В· Якщо, то рівняння (1) визначає криву гіперболічного типу. Отже, якщо, то рівняння (1) визначає криву гіперболічного типу .
а) Якщо і, то рівняння (1) визначає дві пересічні прямі. Отримаємо:
Отже, якщо, то рівняння (1) визначає дві пересічні прямі .
б) Якщо і, то дана крива - гіпербола. Але при всіх за винятком точки. Отже, якщо, то рівняння (1) визначає гіперболу .
Використовуючи отримані результати, побудуємо таблицю:
Значення параметра ОІ
Тип кривої
Еліпс
Парабола
Гіпербола
Дві пересічні прямі
Гіпербола
II . Перехід від загального рівняння кривої до канонічного
Розглянемо тепер випадок, коли, і досліджуємо дане рівняння кривої другого порядку за допомогою інваріантів. З вищенаведеної таблиці бачимо, що при рівняння (1) визначає гіперболу і приймає вид:
(2.1)
Наведемо рівняння кривої (2.1) до канонічного виду, застосовуючи перетворення паралельного переносу та повороту координатних осей.
Ми встановили, що дана крива - центральна, тому використовуємо методику приведення до канонічного увазі для рівняння центральної кривої. Здійснимо паралельний перенесення початку координат в точку. При цьому координати довільної точки площини в системі координат і координати в новій системі координат пов'язані співвідношеннями
Підставляючи ці вирази в рівняння (2.1), отримаємо:
(2.2)
Розкриваючи дужки і приводячи подібні члени, отримаємо:
(2.3)
У рівнянні (2.3) коефіцієнти при прирівняємо до нуля. Отримаємо систему рівнянь щодо
(2.4)
Вирішивши систему (2.4), отримаємо:
Центр кривої має координати, . Поставимо знайдені значення в рівняння (2.3). У новій системі координат в рівнянні (2.3) коефіцієнти при рівні нулю і рівняння набуде вигляду
,
. (2.5)
Так як, то подальше спрощення рівняння (2.5) ми досягаємо за допомогою повороту осей координат на кут. При повороті осей координат на кут координати довільної точки площини в системі координат і координати в новій системі координат пов'язані співвідношеннями
(2.6)
Підставляючи (2.6) в рівняння (2.5), отримаємо
Розкриємо дужки і наведемо подібні члени
Наводячи подібні члени, одержимо рівняння
(2.7)
Тепер виберемо такий кут , Що в рівнянні (2.7) коефіцієнт при творі дорівнює нулю. Одержимо рівняння щодо синуса і косинуса кута:
. (2.8)
Розділимо праву і ліву частини даного рівняння почленно на. Ми можемо це зробити, так як, тому що якщо (то є), то при підстановці в рівняння (2.8) отримаємо, що і, що суперечить основних тригонометричних тотожностей. Отримаємо рівняння
. (2.9)
Вирішуючи рівняння (2.9), отримаємо
,.
Знаючи значення тангенса, можна обчислити значення синуса і косинуса за наступними формулами:,. Підставляючи відповідні значення тангенса, отримуємо:
Візьмемо для визначеності . Тоді відповідні значення синуса і косинуса є
, (2.10)
Підставляючи (2.10) в рівняння (2.7), отримуємо:
і перетворивши дане рівняння, отримаємо рівняння виду:
І, відповідно, рівняння
(2.11)
- це канонічне рівняння вихідної гіперболи.
III . Фокуси, директриси, ексцентриситет і асимптоти кривої
Нехай і - фокуси, - ексцентриситет, - центр, а - директриси даної гіперболи. Відомо, що фокуси мають координати:,, де і. Для даного рівняння гіперболи (2.11) отримуємо, що,, і значить. Звідси отримуємо,.
Ексцентриситет гіперболи (2.11)
.
директриса гіперболи задаються рівняннями: і. Підставляючи знайдені значення і, отримуємо:
Прямі та в канонічній системі координат називаються асимптотами гіперболи. Для даної гіперболи (2.11) асимптоти мають вигляд:
IV . Рівняння осей гіперболи в загальній системі координат
Тепер напишемо рівняння осей нової системи в вихідної системі координат.
Так як система - канонічна для даної гіперболи, то її центр знаходиться в центрі кривої -, тобто осі і проходять через точку.
У пункті II було встановлено, що кутовий коефіцієнт осі.
Рівняння прямої, проходить через цю точку із заданим кутовим коефіцієнтом, має вигляд. Отже, вісь у системі координат задана рівнянням, або, де в ролі точки виступає центр гіперболи точка.
Так як вісь перпендикулярна осі, то її кутовий коефіцієнт. Отже, вісь у системі координат задана рівнянням, або.
V . Побудова графіків гіперболи
Використовуючи отримані в ході виконання завдання дані, побудуємо гіперболу (2.1) у вихідній системі координат (див. рис. 1) і гіперболу (2.11) в канонічній системі координат (див. рис. 2).
Малюнок 1.
Малюнок 2.
Висновок
Таким чином, з вищенаведеного рішення бачимо, що за допомогою інваріантів можна відстежити тип кривої другого порядку з параметром, а використовуючи паралельний перенос і поворот осей координат, можна навести криву другого порядку від загального виду до канонічного.
Список використаної літератури
1. Л.В. Бобильова, Л.С. Брюхіна. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Дослідження кривих другого порядку. - Дубна: Міжнародний університет природи, суспільства і людини В«ДубнаВ», 2003.
2. Ільїн В. А., Позняк Г. Д. Аналітична геометрія. - М.: Физматлит, 2002.
3. М.Я. Вигодський. Довідник з вищої математики. - М: Наука, 1966.
4. А.В. Єфремов, Б.П. Демидович. Збірник задач з математики для втузів. Лінійна алгебра та основи математичного аналізу (Ч. 1). - М.: Наука, 1993.
