Реферат Нормоване простір. Банаховому просторі

-->>

2);

3) у існує такий елемент 0, що для всіх;

4) для кожного існує такий елемент, що.

II. Для будь-якого числа і будь-якого елемента визначений елемент, причому

1);

2);

3);

4);

Приклади лінійних просторів

1. Простір дійсних чисел є лінійним простором за операціями додавання і множення.

2. - Простір, елементами якого є послідовності чисел, що задовольняють умові з операціями,

3. Послідовності, сходяться до 0, з тими ж операціями додавання і множення, також утворюють лінійний простір. Позначаємо його С0.

2. Нормовані простору

Нормовані простору об'єднують структури лінійних просторів.

Будемо розглядати деякий лінійний простір.

Полунормой називають функціонал p, визначений на і задовольняє наступним аксіомам:

1. (Позитивність),

2. (Аксіома трикутника),

3. для будь-якого числа (абсолютна однорідність).

Нормою називають функціонал p, що задовольняє наступним аксіомам:

1.,

2.,

3. (Аксіома трикутника),

4. для будь-якого числа (абсолютна однорідність).

Таким чином, норма - це полунорма, на яку накладено додаткову умову: норма дорівнює нулю тільки на нульовому елементі.

Визначення: Нормованим простором називають лінійний простір із заданою на ньому нормою.

Норму елемента лінійного простору позначають.

Будь нормоване простір можна розглядати як метричний, якщо ввести в ньому метрику таким чином

Таку метрику називають метрикою, індукованої нормою. Це означає, що на нормовані простору можна перенести всі поняття і факти, що відносяться до метричним просторам.

Зокрема, збіжністю по нормі називається збіжність в метриці, індукованої даної нормою.

Безперервність лінійних операцій і норми.

У нормованому просторі сума, твір на число і норма безупинні: якщо послідовності {xn} і {yn} сходяться по нормі відповідно до x і y: і, а числова послідовність {an} сходиться до межі a, то

Розглянемо, суму двох елементів:

Так як і, то права частина нерівності сходиться до нуля, а значить, до нуля сходиться і його ліва частина. Безперервність суми доведена.

Доведемо тепер безперервність множення вектора на число. Для цього нам треба довести, що числова послідовність сходиться до нуля. Уявімо різниця anxn - ax наступним чином:

Згідно аксіомі трикутника для норми:

Розглянемо кожне з доданків окремо:

Таким чином, ми встановили, що безперервність операції множення на число доведена.

Нарешті, доведемо безперервність норми. Кожен елемент xn можна представити у вигляді

xn = (xn - x) + x, по аксіомі трикутника:

або

Аналогічно можна довести, що об'єднуючи два цих нерівності, отримаємо:

За визначенням збіжності по нормі, значить, тобто.

Безперервність норми доведена.

Приклади нормованих просторів

1. Речова пряма R1 є нормованим простором, якщо в якості норми взяти модуль дійсного числа.

2. У дійсному конечномерное просторі Rn норму можна ввести декільком способами. Найбільш широко відома Евклідова норма:

Інші можливі норми:

У комплексному n-мірному просторі норму можна ввести наступним чином:

3. У просторі неперервних на відрізку [a, b] функцій C [a, b] норму можна задати формулою

4. Нехай М - простір обмежених числових послідовностей

Х = (х1, х2, ..., хп, ...), покладемо:

| | x | | = sup | xn |.

підпростір нормованого простору

Розглядаючи лінійні простору (без норми), ми називали підпростором непорожня безліч L0 володіє тим властивістю, що якщо цій безлічі належать два елементи x і y простору L, то будь-яка лінійна комбінація цих елементів також належать цій безлічі:

підпростір нормованого простору ми будемо називати тільки замкнуте підпростори.

Визначення: Лінійним замиканням системи елементів {xn} або підпростором нормованого простору, породженим системою елементів {xn}, називається найменше замкнутий підпростір, що містить всі елементи даної системи.

Довільну (тобто не обов'язково замкнуту) сукупність елементів, що містить разом з x і y довільну їх лінійну комбінацію ax + by будемо називати лінійним різноманіттям.

Система елементів нормованого простору R називається повною, якщо її лінійне замикання Тобто саме R.

Фактор-простори нормованого простору.

Нехай R - лінійне нормоване простір, а R '- деякий його підпростір. Розглянемо фактор простір

З = R/R '.

Як відомо, фактор-простір є лінійним простором.

У цьому просторі можна ввести норму, поклавши для даного класу

Доведемо, що всі аксіоми норми дійсно виконуються.

Так як, то і Нульовим елементом З0 фактор-простору R/R 'є підпростір R'. Так як всяке підпростір повинно містити нульовий елемент, то

Зворотно, якщо, то з безперервності норми випливає, що в класі з можна вказати послідовність елементів, що сходяться до нульового елементу, але так як в підпростір лінійного простір замкнуто за визначенням, то замкнуті всі класи суміжності, а значить

з = R '= З0

Для всякого елемента і числа має місце рівність

Візьмемо зліва і справа нижню межу по з:

З іншого боку, в Внаслідок того, що фактор-простір є лінійним простором, має місце рівність

Розглянемо два класи суміжності виберемо в кожному класі по представнику

Тоді візьмемо нижню грань від лівої і правої частини цієї нерівності:

Таким чином, всі аксіоми норми дійсно виконані.

3. Банаховому простору

Визначення: Відстанню (метрикою) між двома елементами і називається речовий невід'ємне число, позначуване і підлегле трьом аксіомам:

1);

2);

3);

Визначення: Послідовність точок метричного простору називається фундаментальною, якщо при

Справедливі твердження:

1. Якщо послідовність збігається до деякого межі, то вона фундаментальна

Доказ: нехай, тоді, при

2. Всяка фундаментальна послідовність обмежена

Визначимо відстань в нормованому просторі, вважаючи для будь-яких. Тоді означає, що. Це збіжність за нормою.

Фундаментальна послідовність в нормованому просторі відповідно до визначення відстані характеризується умовою, при

Визначення: Нормоване простір називається повним, якщо всяка фундаментальна послідовність його елементів має межу.

Визначення: Повний нормоване простір називається банаховому просторі.

Література

1. Колмогоров, А.М. Елементи теорій функцій і функціонального аналізу/О.М. Колмогоров, С.В. Фомін. В¬ В¬ - М.: Физматлит, 1967.

2. Князєв, П.Н. Функціональний аналіз/П.М. Князєв-Вид. 2, перероб. М., 1979.

3. Люстерник, Л.А. Елементи функціонального аналізу/Л.А. Люстерник В.І. Соболєв-М., 1980.