1. Пароль для входу в комп'ютерну базу даних складається з 7 цифр. Яка ймовірність правильного набору пароля з першого разу, якщо: д) на непарних місцях комбінації стоять однакові цифри
Рішення:
P (A) =
n - Загальне число фіналів.
Припустимо на непарних місцях варто 0_0_0_0_0
На трьох інших місцях може бути: n0 = комбінацій (10 цифр, 3 місця), якщо на непарних місцях коштує 1, і т.д.
n = n0 + n2 + ... + n0 = 10 в€™ =
m = число сприятливих результатів
m = 0
P (A) == 0,0001
Відповідь: 0,0001
2. Дев'ять карток, пронумерованих цифрами від 1 до 9, розташовані один за одним у випадковому порядку. Визначити ймовірності таких подій: Г) кожна з останніх 4 карток має номер більше 3
Будемо використовувати класичне визначення ймовірності:
,
де m - Число фіналів, благоприятствующих здійсненню події, а n - Число всіх елементарних равновозможних фіналів.
Відразу обчислимо, що - число різних способів розкласти картки.
Знайдемо число фіналів, благоприятствующих цій події. Номер більше трьох мають картки: 4,5,6,7,8,9, всього 6 карток. Вибираємо на останнє місце картку 6 способами (Будь-яку з цих шести), на передостаннє місце картку 5 способами (яку з решти п'яти, одна вже вибрана), на третє з кінця місце картку 4 способами, на четверте з кінця місце картку 3 способами. Отримали всього способів розкласти останні 4 картки так, щоб їх номер був більше 3. Тепер розкладаємо решта 5 карток 5! = 120 способами. Разом отримуємо 120 * 360 = 43200 способів.
Тоді ймовірність.
Відповідь: 0,119
3. Відрізок AB розділений точкою C у відношенні 3:7. На цей відрізок навмання кидається 5 точок. Знайти Найімовірніше число точок, які потрапили на відрізок AC і ймовірність саме такого числа точок на відрізку AC
Впадає 5 точок n = 5
Ймовірність потрапити на АС для однієї точки Р == 0,3
1)-Найімовірніше число точок, які потрапили на АС
np -Q ≤
p = 0,3; q = 1-p = 0,7
5 ∙ 0,3-0,7 ≤ <5 ∙ 0,3 + 0,3
0,8 ≤ <1,8
= 1
2) Імовірність саме такого числа точок на АС
(1) =?
Застосуємо формулу Бернуллі.
(K) =. .
(1) =. . = в€™ 0,3 в€™ = 5 в€™ 0,3 в€™ = 0,36
Відповідь: 0,36
4. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірності відмови першого, другого і Третій елемент відповідно рівні 0,2, 01 і 0,6. Знайти ймовірність того, що не відмовив перший елемент, якщо відомо, що відмовили якісь два елемента
Рішення. = 0,2 = 0,1 = 0,6 - Відмова.
= 1 - = 0,8 = 0,4 - не відмова.
Подія А-відмовили якісь два
- перший відмовив Р () = 0,2 =
(А) = + 0,2 в€™ 0,1 в€™ 0,4 + 0,2 в€™ 0,9 в€™ 0,6 = 0,116
-перший не відмовив Р = 0,8 =
(А) = 0,048
За формулою повної ймовірності
P (A) = 0,2 в€™ 0,116 +0,8 в€™ 0,048 = 0,0616
Шукану ймовірність знайдемо за формулою Байєса:
() ==
Відповідь: 0,62
5. Кидають дві гральні кістки. Знайти для твору очок на випавших гранях: математичне очікування; дисперсію
Рішення. Введемо незалежні випадкові величини і рівні, відповідно, числу очок, що випали на першій і на другій кістці. Вони мають однакові розподілу:
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Знайдемо математичне очікування
.
Знайдемо дисперсію
.
Тоді математичне очікування суми числа очок, які можуть випасти при одному киданні двох гральних кісток одно
.
Дисперсія суми числа очок, які можуть випасти при одному киданні двох гральних кісток дорівнює (Так як кидання костей незалежні):
.
Відповідь: 7; 35/6.
6. Математичне очікування і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х відповідно рівні 30 і 4. Знайти ймовірність того, що Х в 5 випробуваннях рівно 3 рази прийме значення, укладену в інтервалі (29, 31)
Рішення. Використовуємо формулу
,
де математичне очікування, середнє квадратичне відхилення О± = 29, ОІ = 31.
P (29 <х <31) = Ф (= Ф (0,25) - (0,25) = Ф (0,25) + Ф (0,25) = 2 в€™ Ф (0,25) = 2 в€™ 0,3413 в€™ 0,25 = 0,17065 Відповідь: 0,17065
7. У порядку серійної вибірки з 1000 контейнерів бесповторном відборі взято 10 контейнерів. Кожен контейнер містить рівну кількість однотипних виробів, отриманих високоточним виробництвом. Межсерийная дисперсія параметра вироби дорівнює 0,01. Знайти: межі, в яких з імовірністю 0,99 укладено середнє значення параметра у всій партії, якщо відібрано 50 контейнерів, а загальна середня дорівнює 5
При бездротовому відборі застосовується формула:
n =
N = 1000 n == 5
p = 0,99 ≈ 0,98
Підставимо:
5 =
5 =
5000 +0,049 = 98
0,049 = 98
Т.к. х = 5, то інтервал 50,14
