МІНІСТЕРСТВО освіти и науки України
Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова
Фізико-математичний інститут
Кафедра віщої математики
Курсова робота на тему:
В«Діофантові рівняння В»
Виконала:
Студентка 22 МІ групи
Приблуда Ірини Андріївні Науковий Керівник:
Канд. фізико-математичних них наук
доцент Верпатова Наталія Юріївна
Комісія: 1. _______________________________
2.
3.
Оцінка:
Київ 2010
План
Вступ
Розділ І. Загальні теоретичні Відомості
1. Лінійні діофантові рівняння.
2. Невізначені рівняння віщіх порядків.
2.1 Рівняння. Піфагорові трійкі
2.2 Рівняння Ферма
2.3 невизначенності рівняння третього порядком
2.4 Рівняння Лежандра
Розділ ІІ. Приклади розв'язання діофантовіх рівнянь
1. Розв'язування лінійніх діофантовіх рівнянь.
2. Розв'язування діофантовіх рівнянь віщіх порядків.
Висновок
Література
Вступ
Діофант представляє одну Із найцікавішіх особистостей в Історії математики. Мі не знаємо, ким БУВ Діофант, точні рокі Його життя, не відомі Його попередники, які Працювало у тій же сфері, Що ї ВІН.
Дуже цікавою є діяльність Діофанта. До нас дійшло 7 книг Із 13, які булі об'єднані в В«АрифметикуВ». Стиль и Зміст ціх книг Дуже відрізняється від класичних книг з Теорії чисел та алгебри, Зразки якіх ми знаємо з В«НачалВ» Евкліда, лем Архімеда и Аполлонія. В«АрифметикаВ», безсумнівно, є результатом багаточісленніх досліджень, велика кількість з якіх залишилась нам невідомою.
В«АрифметикаВ» Діофанта - ції збірник задач (їх Всього 189), шкірно з якіх має розв'язок и необхідні пояснення. У збірник входять різноманітні Задачі, и їх розв'язки Дуже часто не так просто зрозуміті. Діофант практікувався у знаходженні розв'язків невизначенності рівнянь виглядах рќђґ, або систем таких рівнянь. Його цікавілі Тільки додатні цілі числа и раціональні розв'язки. Ірраціональні розв'язки ВІН називав В«НеможливоВ» и ретельно підбірав коефіцієнті так, щоб Отримати шукані додатні, раціональні розв'язки.
Тому , Зазвічай, довільне невизначенності рівняння (альо, Як правило, з цілімі коефіцієнтамі) назівають В«діофантовімВ», ЯКЩО хочут наголосіті на тому, Що рівняння слід розв'язувати в ціліх числах.
Невізначені рівняння першим ступенем Почаїв розглядаті математики, пріблізно в V столітті. Деякі Такі рівняння з двома, трьома невідомімі з'явились у зв'язку з проблемами, які вініклі в астрономії, Наприклад, при розгляді харчування, пов'язаних з визначенням періодічного повторення небесних явищем.
В 1624 году Була опублікована книга Французька математика Баше де Мезірьяка, у якій для розв'язку рівняння рќ‘Ћ рќ‘Ґ + рќ‘Џ 𝑦 = рќ‘ђ Фактично застосовується процес, Що зводіться до послідовного визначення неповніх часткового підхідніх дробів.
Після Баше в XVII и XVIII століттях Різні алгоритми для розв'язку невизначенності рівняння першим ступенем з двома невідомімі давали Роль, Ейлера та Інші математики.
Ланцюгові дробу для розв'язку таких рівнянь булі застосовані Вперше Лагранжем. Пізніше діофантові рівняння стали запісуваті и розв'язувати у формі конгруенцій.
У серпні 1900 року в Паріжі відбувся ІІ міжнародний конгрес математіків. 8 серпня Д. Гільберт прочитавши на цьому конгресі Доповідь В«Математічні проблемиВ». Серед 23 проблем, розв'язок якіх, Як вважаєтся Гільберт, Було необхідно Отримати в Наступний XX столітті, десяту проблему ВІН сформулював Наступний чином:
В«Нехай задано діофантове рівняння з довільнім числом невідоміх и раціональнімі числові коефіцієнтамі. Вказаті спосіб, за допомог Якого можна після скінченного числа операцій Встановити, чи розв'язне Це рівняння в ціліх числах В».
Гіпотезу, Що такого способу не існує, дере сформулював (з Вагом на ті доказ) американський математик М. Девіс у 1949 году. Доведення цієї гіпотезі затягнулося на 20 РОКІВ - Останній крок БУВ зробленій в 1970 году Юрієм Володимирович Мятіясеєвічем, на Першому году аспірантурі ВІН показавши алгорітмічну нерозв'язність 10-ї Проблеми Гільберта.
проти, ЯКЩО про довільне діофантове рівняння не можна сказаті чі має воно цілі корені, чи не має, то проблема існування ціліх коренів лінійного діофантового рівняння розв'язано.
Курсова робота Складається з двох розділів. У Першому розділі розглядаються лінійні діофантові рівняння, Основні теореми, Що дають можлівість знаходіті розв'язки ціх рівнянь або візначаті їх кількість, а кож деякі невізначені рівняння віщіх порядків, Що розв'язуються в ціліх додатніх числах за відомімі алгоритмами.
У іншому розділі наведені Приклади лінійніх діофантовіх рівнянь, рівнянь другого и третього порядку, показані Різні методи їх розв'язання. Застосовується техніка від Розгляд елементарних конгруенцій до Використання більш тонких результатів Теорії алгебраїчніх чисел. В додаток до доведення існування чи не існування розв'язків мі отрімуємо кож результати про їх кількість.
Розділ І . Загальні теоретичні Відомості
В§ 1.Лінійні діофантові рівняння
Діофантовім рівнянням першим ступенем з рќ‘› невідомімі назівається рівняння виглядах
= рќ‘Џ, (1)
де ВСІ коефіцієнті и невідомі - цілі числа и хоча б Одне
розв'язку діофантового рівняння (1) назівається комплекс ціліх чисел, які задовольняють Це рівняння.
ЯКЩО рівняння (1) однорідне, то відмінній від (0, ..., 0) розв'язок назівається нетрівіальнім. розв'язок рівняння (1) в раціональних числах назівається раціональнім.
Теорема 1 .
При взаємно простих коефіцієнтах діофантове рівняння
= 1 (2)
має розв'язки в ціліх числах.
доведення.
Позначімо через М множини тихий додатніх ціліх чисел рќ‘Џ, для якіх рівняння
= рќ‘Џ
має розв'язки в ціліх числах. Множини М, очевидно, не порожня, оскількі при завданні можна підібраті цілі значення, так щоб Було додатнім числом.
В множіні М існує найменша кількість його призначення та мі позначімо через рќ‘‘ (рќ‘‘). позначімо через, цілі числа Такі, Що
= рќ‘‘.
Нехай = рќ‘Џ рќ‘ћ + рќ‘џ, де; тоді
.
Мі підібралі цілі значення:, Такі, Що = рќ‘џ, альо, а рќ‘‘ - Найменша додатне число в М, тобто рќ‘џ НЕ Може буті додатнім, рќ‘џ.
Аналогічно отрімуємо.
Мі бачімо, Що рќ‘‘ - Спільний дільнік чисел. Отже, оскількі () = 1, 1, рќ‘‘ = 1, 1, то рівняння (2) розв'язне в ціліх числах. Теорему доведено.
Теорема 2
Нехай рќ‘‘ - Найбільшій Спільний дільнік коефіцієнтів . Діофантове рівняння
= 1
має розв'язки тоді и Тільки тоді, коли рќ‘Џ . Кількість розв'язків такого рівняння дорівнює нулю, або нескінченності.
доведення.
Доведемо послідовно три твердження теореми.
1) Нехай рќ‘Џ. Для рівняння
існують цілі числа:, які задовольняють Його, тобто Такі, Що
Тоді
тобто
2) Нехай тепер. Тоді ліва частина рівняння (2) при будь-яких ціліх значення діліться на рќ‘‘, а права час...
