XШ районна науково-практична конференція учнів
секція математики
Лист Мебіуса
Джавадова Сабіна
Школа № 41, 10 клас
г.Новокузнецка, 2009 рік.
Введення
Розповідають, що відкрити свій "лист Мебіуса" допомогла служниця сшівшая неправильно кінці стрічки.
Як би там не було, але в 1858 Лейпцизький професора Августа Фердинант Мебіус, учень знаменитого К.Ф.Гаусса, астроном і геометр, послав у Паризьку академію наук роботу, включає відомості про це аркуші. Сім років він чекав розгляду своєї роботи, і. не дочекавшись, опублікував її результатів в 1858 році.
У аркуша Мебіуса всього одна сторона, і це вразило німецьких професорів, і тому що кожна поверхня має дві сторони.
Лист Мебіуса
Розповідають, що відкрити свій "лист Мебіуса" допомогла служниця сшівшая неправильно кінці стрічки.
Як би там не було, але в 1858 Лейпцизький вчений серпня Фердинант Мебіус, учень "короля математиків "К.Ф.Гаусса і багатьох інших з тих, кому математика зобов'язана своїм розвитком, послав у Паризьку академію роботу, що включає відомості про цьому аркуші. Сім років він чекав розгляду своєї роботи, і. не дочекавшись, опублікував її результати.
Чим же цікавий цей лист? А тим, що у листа Мебіуса - всього одна сторона. Ми ж звикли до того, що у всякої поверхні, з якою ми маємо справу (аркуш паперу, велосипедна або волейбольний камера) - дві сторони.
Стрічка Мебіуса володіє цікавими властивостями. Якщо спробувати розрізати стрічку навпіл по лінії, рівновіддаленою від країв, замість двох стрічок Мебіуса вийде одна довга двостороння (рис.1) (удвічі більше закручена, ніж стрічка Мебіуса) стрічка, яку фокусники називають "афганська стрічка". Якщо тепер цю стрічку розрізати посередині, отримають дві намотані один на одного (рис.2). Інші цікаві комбінації стрічок можуть бути отримані з стрічок Мебіуса з двома або більше півобертами в них. Наприклад, якщо розрізати стрічку з трьома півобертами, то вийде стрічка, завита у вузол трилисника (рис.3). Розріз стрічки Мебіуса з додатковими оборотами дає несподівані фігури, названі парадромнимі кільцями.
Щоб зробити аркуш Мебіуса треба взяти досить витягнуту паперову смужку і з'єднати кінці смужки, попередньо перевернувши один з них. Перебуваючи на поверхні листа Мебіуса, можна було б йти по ній вічно.
Спробуйте пофарбувати одну сторону листа Мебіуса - шматок за шматком, не переходячи через край стрічки. І що ж? Ви закрасите весь лист Мебіуса! "Якщо хтось спробує розфарбувати" тільки одну "сторону поверхні стрічки Мебіуса, нехай краще відразу занурить її всю у відро з фарбою ", - пишуть Ріхард Курант і Герберт Роббінс в найвищому книзі "Що таке математика".
Несподіванка номер три: межа у листа Мебіуса одна, а не складається з двох частин, як у звичайного кільця.
Властивість однобічності листа Мебіуса було використано в техніці: якщо у ремінної передачі ремінь зробити у вигляді листа Мебіуса, то його поверхня зношується вдвічі повільніше, ніж у звичайного кільця. Це дає відчутну економію (рис. 4).
Лист Мебіуса один з об'єктів в області математики під назвою топологія (по-іншому "геометрія положення "). Дивовижні властивості листа Мебіуса-він має один край, одну сторону, - не пов'язані з його положенням у просторі, з поняттями відстані, кута і тим не менше мають цілком геометричний характер. Вивченням таких властивостей займається топологія. Виявляється, властивості такого типу, незважаючи на гадану їх незвичність, пов'язані якраз з найбільш абстрактними математичними дисциплінами, саме з алгеброю і теорією функцій.
Якщо на внутрішню сторону звичайного кільця посадити павука, а на зовнішню-муху і дозволити їм повзати як завгодно, заборонивши лише перелазити через краї кільця, то павук не зможе дістатися до мухи, чи не так? А якщо їх обох посадити на лист Мебіуса, то бідна муха буде з'їдена, якщо, звичайно, павук повзає швидше!
У топології вивчаються властивості фігур і тіл, які не змінюються при їх безперервних деформаціях.
Експерименти для всіх. Візьмемо стрічку, розділимо кожну її сторону на три однакові смужки і склеим, перекрутивши один раз лист. Будемо різати по пунктирною лінії. Якби стрічка була перекручена, то спочатку ми б відрізали одне кільце, а потім ще два інших. Всього три кільця, кожне тієї довжини, що і початкове, але друге меншою ширини. Але у нас лист Мебіуса. І, не відриваючи ножиць від паперу, розрізатимемо пунктирними лініями відразу і отримаємо два зчеплених кільця (мал. 5). Одне з них удвічі довше вихідного і перекручено два рази.
Друге - лист Мебіуса, ширина якого втричі менше, ніж у вихідного.
Лист Мебіуса-не орієнтована поверхню (поверхню допускає орієнтацію) з краєм.
Лист Мебіуса - це також простір нетрівального розшарування над колом з шаром відрізок.
Лист Мебіуса - двомірне компактне безліч (тобто поверхня) з кордоном. Це стандартний приклад поверхні, яка не ориентируемого. Лист Мебіуса - це також стандартний приклад, використовуваний, щоб проілюструвати математичне поняття пучок волокон.
Подібні об'єкти. Близьким "дивним" геометричним об'єктом є пляшка Клейна (рис.6) - (визначення не орієнтується поверхню). Пляшка Клейна може бути отримана шляхом склеювання двох стрічок Мебіуса по краях. У звичайному тривимірному евклідовому просторі зробити це, не створюючи самопересеченія, неможливо.
Мистецтво та технологія. Лист Мебіуса служив натхненням для скульптур та графічного мистецтва. Ешер був одним з художників, хто особливо любив його і присвятив кілька своїх літографій цього математичному об'єкту. Одна з відомих-лист Мебіуса показує мурах, плазунів по поверхні стрічки Мебіуса (рис.7).
Лист Мебіуса також часто зустрічається в науковій фантастиці, наприклад в оповіданні "Стіна Темряви". Іноді науково-фантастичні розповіді припускають, що наш всесвіт може бути деяким узагальненим листом Мебіуса. В оповіданні "лист Мебіуса" автора А.Дж.Дейча, бостонское метро будує нову лінію, маршрут якої стає настільки заплутаним, що перетворюється в стрічку Мебіуса, після чого на цій лінії починають зникати поїзда.
Існували технічні застосування стрічки Мебіуса. Смуга стрічкового конвеєра випоняемие у вигляді стрічки Мебіуса, що дозволяло йому працювати довше, тому що вся поверхня стрічки рівномірно зношувалася. Також в системі запису на безперервну плівку застосовувалися стрічки Мебіуса (щоб подвоїти час запису). Пристрій під назвою "Резистор Мебіуса-це недавно винайдений електронний елемент, який не має власної індуктивності.
Завдання. 1) Кожні дві з п'яти довільно заданих в площині точок A, B, C, D, E з'єднані прямою. Площі виникаючих при цьому п'яти трикутників EAB, ABC, BCD, CDE, DEA задані; потрібно виразити через них площа п'ятикутника ABCDE. Замість площ цих п'яти трикутників можна також вважати заданими площі п'яти чотирикутників: BCDE, CDEA, DEAB, EABC, ABCD, - і шукати вираження через них площі п'ятикутника ABCDE (Рис.8).
Площа п'ятикутника ABCDE у якого площі трикутників EAB, ABC, BCD, CDE, DEA рівні відповідно a, b, c, d, e є корінь квадратичного рівняння
Не менш цікаво й те, що площа п'ятикутника ABCDE, у якого площі чотирикутників BCDE, CDEA, DEAB, EABC, ABCD дорівнюють відповідно є корінь "такого ж "квадратного рівняння
Мебіус розглядає не тільки опуклі багатокутники, але і враховує що порядок, в якому слідують точки A, B, C і точки B, C, D, відповідає обходу по сторонах ці трикутників за годинниковою стрілкою, а порядок, в якому слідують точки C, D, E- обходу по сторонах трикутника CDE проти годинникової стрілки. Більш того, Мебіус розглядає не тільки "звичайні" багатокутники, а й такі, у яких сторони можуть перетинатися не тільки в вершинах багатокутника (рис.9). І як підсумок, можна сказати-якщо кожні дві точки якої-небудь системи і точок, розташованих у площині, з'єднати прямою лінією, і якщо вважати заданими площі (незалежні між собою) будь-яких 2n-5 багатокутників, що виникають від перетину цих прямих, то через них можна виразити площа кожного з решти багатокутників ".
2) А ось і ще одна завдання, - в п'ятикутнику ABCDE задані площі p, q, r, s, t трикутників ACD, BDE, CEA, DAB, і EBC. Потрібно через них висловити площа п'ятикутника ABCDE. А ось і відповідь:
Висновок
На початку своєї роботи я ставила перед собою мету-вивчити всі особливості аркуша Мебіуса.
Написавши доповідь, я переконалася в тому, що Лейпцизький професора Августа Фердинант Мебіус в 1858 році зробив масштабне відкриття, за яким ховалися багато фактів.
Я досягла своїх цілей, розглянувши повну інформацію про аркуші Мебіуса.
Література
1. Енциклопедія "Я пізнаю світ "
2. Позакласні завдання 8-9 клас (А.С.Громов)
3. w.w.w.Rambler.ru
4. Науково-популярний журнал "Квант" 1975году № 7, 1977 № 7.
Додаток
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис.5
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
