Зміст
Подвійні інтеграли
Визначення визначеного інтеграла
Правило обчислення подвійного інтеграла.
Обчислення об'ємів тіл за допомогою подвійного інтеграла
Обчислення площ поверхонь фігур за допомогою подвійного інтеграла.
Потрійні інтеграли
Обчислення об'ємів тіл за допомогою потрійного інтеграла.
Невласні інтеграли.
Диференціальні рівняння.
1. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними
2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
3. Лінійні диференціальні рівняння
4. Рівняння Бернуллі
Диференціальні рівняння другого порядку.
Три випадки пониження порядку.
Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.
Комплексні числа
Геометричне зображення комплексних чисел
Дії над комплексними числами.
Твір.
Приватне.
Піднесення до ступінь.
Витяг кореня
Ряди.
Числові ряди.
Властивості числових рядів.
Знакоположітельние ряди
Ознаки збіжності та расходимости знакоположітельних рядів.
Знакозмінні і Знакозмінні ряди.
ПОДВІЙНІ Інтегралів
Визначення певного інтеграла
- інтегральна сума.
</p>
Геометричний сенс ОІ : дорівнює площі криволінійної трапеції.
Аналогічно ОІ виводиться і подвійний інтеграл.
Нехай задана функція двох змінних z = f (x, y), яка визначена в замкненій області S площині ХОУ.
Інтегральною сумою для цієї функції називається сума
Вона поширюється на ті значення i і до, для яких точки (x i , y k ) належать області S.
Подвійний інтеграл від функції z = f (x, y), визначеної в замкнутій області S площині ХОУ, називається межа відповідної інтегральної суми.
Правило обчислення подвійного інтеграла
Подвійний інтеграл обчислюється через повторні або дворазові інтеграли. Розрізняються два основних види областей інтегрування.
1. (Рис.1) Область інтегрування S обмежена прямими х = а, х = у і кривими
.
Для такої області подвійний інтеграл обчислюється через повторний за формулою:
Спочатку обчислюється внутрішній інтеграл:
При обчисленні внутрішнього інтеграла 'у' вважається змінної, а 'х'-постійною.
2. (Рис.2) Область інтегрування S обмежена прямими у = С, у = d і кривими
.
Для такої області подвійний інтеграл обчислюється через повторний за формулою:
Спочатку обчислюється внутрішній інтеграл, потім зовнішній.
При обчисленні внутрішнього інтеграла 'х' вважається змінної, а 'у'-постійною.
3. Якщо область інтегрування не відноситься ні до 1 ні до другого випадку, то розбиваємо її на частини таким чином, щоб кожна з частин ставилася до одного з цих двох видів.
Обчислення об'ємів тіл за допомогою подвійного інтеграла
Обсяг тіла, обмеженого зверху поверхнею z = f (x, y), знизу-площиною z = 0 (Площину ХОУ) і з боків-циліндричною поверхнею, вирізані на площині ХОУ область S, обчислюється за формулою:
Обчислення площ поверхонь фігур за допомогою подвійного інтеграла
Якщо гладка поверхня задана рівнянням z = f (x, y), то площа поверхні (Sпов.), що має своєю проекцією на площину ХОУ область S, знаходиться за формулою:
- площа поверхні.
потрійних інтегралів
Визначається аналогічно подвійному інтегралу.
Потрійний інтеграл від функції U = f (x, y, z), поширеним на область V, називається границя відповідної трикратної суми.
Обчислення потрійного інтеграла зводиться до послідовному обчисленню звичайних (однократних) нтегралов.
Обчислення об'ємів тіл за допомогою потрійного інтеграла
Обсяг тіла обчислюється за формулою:
невласного Інтегралів
Це інтеграли: - з нескінченними межами; - від необмеженої функції.
Перший вид
Невласні інтеграли з нескінченними межами мають вигляд:
;
Невласні інтеграли від функції в межах від (а) до () визначаються рівністю.
1 .; 2 . ; 3 .
Якщо ця межа існує і кінцевий, то невласний інтеграл називається збіжним ; якщо межа не існує або дорівнює нескінченності, то невласний інтеграл називається розбіжним (Ряд сходиться або розходиться?). Це і є відповідь.
Другий вид
Невласні інтеграли від необмеженої функції мають вигляд:, де існує точка "з" (Точка розриву) така, що; , Тобто (Зокрема c = a; c = b).
Якщо функція f (x) має нескінченний розрив в точці "з" відрізка [a; b] і неперервна при чи , То вважаємо:
Якщо межі в правій частині останнього рівності існують і кінцеві, то невласний інтеграл сходиться , якщо межі не існують або дорівнюють нескінченності - то розходяться .
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
1 . Диференціальне рівняння - рівняння, що зв'язує незалежну змінну х, шукану функцію f (x) і її похідні.
Символічно диференціальне рівняння виглядає:
F (x, y, y ', y'' ..., y ( n ) ) = 0 або.
2 . Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, що входить в рівняння:
Приклад.
F (x, y, y ') = 0 - диференціальне рівняння першого порядку.
F (x, y, y ', y'') = 0 - диференціальне рівняння другого порядку.
3 . Рішенням диференціального рівняння називається всяка функція, яка при підстановці в рівняння, звертає його в правильне тотожність.
Для того щоб вирішити диференціальне рівняння треба його проінтегрувати.
Приклад .
Диференціальне рівняння першого порядку.
Загальне і приватне рішення.
F (x, y, y ') = 0
Це рівняння можна привести до виду y '= f (x, y).
Інтегруємо рівняння.
Після обчислення виникає постійна С. Тому рішення фактично залежить не тільки від х, але і від С, тобто y = f (x, C). Надаючи З різні значення, ми отримуємо безліч різних рішень диференціального рівняння. Ці рішення (y = f (x, C)) називаються спільним рішенням диференціального рівняння.
Надаючи З різні значення отримуємо різні рішення диференціального рівняння. Так як С має нескінченну безліч значень, то і рішень буде нескінченна безліч (які відрізняються один від одного шляхом зсуву на кілька одиниць).
Геометрично спільне рішення являє собою сімейство кривих на координатній площині ХОУ.
Приватне рішення .
Нехай у диференціальному рівнянні задані додаткові умови, що при х = х0 функція приймає значення у = у0. Це додаткова умова називається початковою умовою і записується: а ). у = у0 при х = х0; б ). ; В ). у (х0) = у0.
Геометрично початкова умова означає деяку точку (х0, у0) на площині ХОУ.
Підставляючи в початкова умова, знаходимо цілком певні значення постійної С. Тоді є приватним рішенням рівняння.
Геометрично приватне рішення позначає: початкове умова задає деяку точку на площині і з сімейства кривих (загальне рішення) вибирається та єдина крива, яка проходить через цю точку.
Теорема існування та єдиності розв'язку диференціального рівняння ( теорема Коші ).
Якщо в д...
