Зміст
Введення
1. Елементи математичної статистики
1.1 Оцінки параметрів розподілу
1.2 Найбільш важливі розподілу, застосовувані в математичній статистиці
1.2.1 Нормальний розподіл
1.2.2 Розподіл Пірсона (х 2 розподіл)
1.2.3 Розподіл Стьюдента
1.2.4 Розподіл Фішера
2. Організація експерименту
2.1 Завдання попереднього експерименту. Факторне простір
2.2 Формулювання мети експерименту і вибір відгуків
2.3 Вибір і кодування факторів
Список літератури
Додаток (таблиця критичних точок критерію Фішера)
Введення
До найважливішим напрямам науково-технічного прогресу відносяться автоматизація виробництва, широке застосування комп'ютерів і роботів, створення гнучких автоматизованих пристроїв і т.д. У всіх цих напрямках провідна роль належить електроніці.
При створенні електронної та електромеханічної апаратури основні трудовитрати припадають на її настройку, зняття характеристик і випробування. При цьому нерідко використовується малоефективний традиційний метод однофакторного експерименту, недостатньо уваги приділяється організації та планування експерименту та ймовірносно-статистичному аналізу одержуваних даних. Щоб підвищити продуктивність праці в даній галузі, фахівцям необхідно знати основи математичної теорії експерименту і успішно застосувати її на практиці.
1. Елементи математичної статистики
1.1 Оцінки параметрів розподілу
Математична статистика вивчає масові, випадкові явища. Її основним завданням є вивчення розподілів випадкових величин або її числових характеристик (Параметрів розподілу) на основі експериментальних даних. Серед параметрів розподілу найбільш часто використовуються математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення. За результатами експерименту можна обчислити точкові та інтервальні оцінки цих параметрів.
Точкові оцінки визначають наближені значення невідомих параметрів.
Нехай у результаті експериментів були отримані наступні значення вихідної змінної.
Оцінкою математичного очікування є вибіркова середня:
Оцінка дисперсії визначається формулою:
Для середнього квадратичного відхилення отримаємо:
Якщо серед результатів попадаються однакові значення, тобто значення зустрілося раз, то точкові оцінки визначаються формулами:
,
де-число різних значень.
Інтервальні оцінки вказують інтервал, в який із заданою ймовірністю потрапляє значення невідомого параметра.
Для математичного очікування довірчий інтервал оцінюється таким чином:
,
де-значення критерію Стьюдента. ,-Число ступенів свободи,-рівень значущості.
Середнє квадратичне відхилення має довірчий інтервал:
,
де - значення критерію Пірсона для рівня значущості, - для рівня значущості,-число ступенів свободи.
1.2 Найбільш важливі розподілу, застосовувані в математичній статистикою
1.2.1 Нормальне розподіл
Випадкова величина, розподілена по нормальному закону, описується щільністю ймовірності:
.
Нормальне розподіл визначається двома параметрами - математичним очікуванням і среднеквадратическим відхиленням.
Випадкова величина має математичне сподівання і середньоквадратичне відхилення і називається нормованої нормально розподіленої випадкової величиною. Її щільність ймовірності:
,
Графік щільності розподілу наведено на малюнку 1.
Функція розподілу табульована.
Вірогідність попадання в інтервал:
Вірогідність попадання в інтервал [-3; 3] довжиною по правилу "3-х сигм" приймається за одиницю. Це рівносильно припущенням, що всі значення z укладені в інтервал [-3; 3].
Рис.1. Графік функції щільності нормованої нормально розподіленої випадкової величини
1.2.2 Розподіл Пірсона (х 2 розподіл)
Це розподіл використовується для побудови довірчих інтервалів, перевірки відповідності емпіричного розподілу деякої теоретичної залежності, перевірки узгодженості думок експертів.
Нехай є незалежних, нормованих, нормально розподілених випадкових величин. Сума їх квадратів утворює нову випадкову величину.
Число ступенів свободи дорівнює числу незалежних доданків у сумі. Якщо на доданки накладено зв'язків, то число ступенів свободи буде одно.
Розподіл є асимптотично нормальним і залежить тільки від числа ступенів свободи. Значення табульованого.
1.2.3 Розподіл Стьюдента
Для побудови довірчих інтервалів і для перевірки статистичних гіпотез часто використовується-розподіл (Розподіл Стьюдента).
- оцінка математичного очікування,
- оцінка СКО, розраховані за результатами дослідів, випадкової величини, розподіленої за нормальним законом з параметрами.
Розподіл Стьюдента визначається числом ступенів свободи, є симетричним, унімодального і асимптотично нормальним. При воно практично збігається з нормальним. Таблиця розподілу має два входи - число ступенів свободи і рівень значущості. На перетині знаходиться значення, яке задовольняє умові.
1.2.4 Розподіл Фішера
Це розподіл, як і два попередні, використовуються при аналізі результатів експерименту, що мають нормальний розподіл. - Розподіл задається наступним чином:
,
де - випадкові величини з числом ступенів свободи, причому величина в чисельнику повинна бути більше величини в знаменнику.
Шляхом тотожних перетворень наведемо, до відношення двох оцінок дисперсії деякої випадкової величини.
Нехай на основі результатів двох серій експериментів з числом дослідів відповідно були отримані-оцінки дисперсії з числом ступенів свободи. Зауважимо що,
,
тоді можна записати:
.
Звідси. Передбачається, що.
-розподіл визначається двома параметрами - числами ступенів свободи більшої дисперсії і меншою дисперсії . Критичні значення-розподілу, що відповідають рівню значущості дани у додатку. Таблиця містить значення, що задовольняють умові
2. Організація експерименту
2.1 Завдання попереднього експерименту. Факторний простір
Безпосередньому проведенню основного експерименту передує підготовча робота - предпланірованіе, яке складається з наступних етапів:
1. Вивчення об'єкта і формулювання мети експериментального дослідження;
2. вибір відгуків (вихідних змінних);
3. вибір факторів (вхідних змінних) і їх інтервалів варіювання;
4. розробка експериментальної установки і метрологічного забезпечення або програм для ЕОМ;
5. складання таблиці умов і плану експерименту.
Прикладом многоотклікового об'єкта є імпульсний пристрій, в якому відгуками можуть бути ширина і амплітуда імпульсу, тимчасове запізнювання. Ці параметри - відгуки залежать від внутрішніх параметрів пристрою і різних зовнішніх впливів: напруги живлення, температури навколишнього середовища, зовнішніх електромагнітних полів.
На рис.2 показана схема багатофакторного експерименту, яку іноді називають схемою чорного ящика. Вихідні змінні, що визначають стан об'єкта (змінні стану), позначені літерами. Вони залежать від трьох типів впливів позначаються векторами.
Перша група - Це контрольовані і керовані в процесі експерименту, незалежні між собою змінні, які називають факторами.
Друга група впливів - спостережувані, але некеровані змінні.
Третя група впливів - неспостережний і некеровані змінні.
Задача експерименту полягає ...
