Завдання 1
Обчисліть і послідовності.
Рішення.
Розглянемо послідовність.
для будь-якого натурального
Отже, безліч є обмеженим зверху. Це означає, що послідовність має верхню точну грань:.
Отже, безліч не є обмеженим знизу. Це означає, що нижня грань послідовності не існує.
Відповідь. не існує
Завдання 2
Користуючись визначенням границі послідовності, доведіть, що.
Доказ.
Число називається границею послідовності, якщо для будь-якого позитивного числа існує номер такий, що при виконується нерівність.
Використовуючи визначення границі послідовності, доведемо, що.
Візьмемо будь-яке число.
Якщо взяти, то для всіх буде виконуватися нерівність. Отже,.
Доведено
Завдання 3
Користуючись визначенням границі функції, доведіть, що.
Доказ
Число називається границею функції при, якщо для будь-якого числа існує число таке, що для всіх, що задовольняють нерівності, виконується нерівність.
Використовуючи визначення границі функції, доведемо, що.
Візьмемо будь.
Покладемо.
Якщо взяти, то для всіх, що задовольняють нерівності, виконується нерівність. Отже,.
Доведено.
Завдання 4
Обчисліть межа.
Рішення.
Відповідь.
Завдання 5
Обчисліть межа.
Рішення.
Відповідь.
Завдання 6
Обчислити межа.
Рішення.
Відповідь.
Завдання 7
Обчислити межа.
Рішення.
Відповідь.
Завдання 8
Обчислити межа.
Рішення
Відповідь.
Завдання 9
Обчислити межа.
Рішення.
Відповідь.
Завдання 10
Обчислити межа.
Рішення.
Відповідь.
Завдання 11
Обчислити межа.
Рішення.
Відповідь.
Завдання 12
Обчислити межа.
Рішення.
Відповідь.
Завдання 13
Обчислити межа.
Рішення.
Відповідь.
Завдання 14
Обчислити межа.
Рішення.
при функція є нескінченно малою
для будь-якого функція є обмеженою.
Відомо, що твір нескінченно малою функції і обмеженої функції є нескінченно мала функція. Отже, функція є нескінченно малою при. Це означає, що.
Відповідь.
