План
I. Вступ
1.1 Фрактал. Історія Його Виникнення
1.2 Види фракталів та методи їх Створення
1.3 Типи самоподібності у фракталах
1.4 Розмірність фракталів
II. Основна частина
2.1 Класифікація алгорітмів Створення фракталів
2.2 Системи Ітеріруєміх Функцій
2.3 Стіснюючі афінні перетворення
2.4 Метод простої заміні
2.4.1 Серветка Серпінського
2.4.2 Дракон Хартера-Хейтуея
2.5 Алгебраїчні фрактал
2.6 Графікі функцій комплексної змінної
2.7 Формули Побудова фракталів
2.7.1 Різновід алгебраїчніх фракталів - басейни Ньютона
2.7.2 множини Жюліа та Мандельброта
III. Висновок
IV. Використана література
І Вступ
1.1 Фрактал. Історія Його Виникнення
Все, Що Створено людино, обмежен площінамі. Колі зустрічається об'єкт у природі, то Спочатку можна побачіті, Що описати Його форму можна Ліше набліжено ї допоможуть в цьому фрактал. Де закінчуються правильні форми Евклідової геометрії, там зустрічаються фрактал.
Фрактал (лат. fractus - подрібненій, дробові) - нерегулярна, самоподібна структура. У широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі Частина якої в довільному збільшенні є подібнімі до неї самої (мал.1).
Об'єкти, які тепер назіваються фракталами, досліджувалісь задовго до того, Як їм Було дано таку назв. У етноматематіці, Наприклад в роботах Рона Еглаша "Афріканські фрактал", задокументована пошірені фрактальні геометрічні фігурі в містецтві тубільців. У 1525 году Німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю "Керівництво Художника", Один із розділів якої має Назва "Черепічні шаблони, утворені Пентагон". Пентагон Дюрера Багато в Чому є схожим на килим Серпінського, альо Замість квадратів вікорістовуються п'ятікутнікі. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об'єкти, Дуже Схожі на фрактал.
Ідею "рекурсівної самоподібності" було вісунуто філософом Лейбніцом, Який кож розробив Багато з деталей цієї Ідеї. У 1872 Карл Веєрштрасс знайшов приклад функції з неінтуітівною особлівістю, Скрізь неперервної, альо ніде недіференційованої - графік цієї функції тепер назівався б фракталом. У 1904 Хельга Фон Кох, незадоволеній занадто абстрактним та аналітічнім Означення Веєрштрасса, розробив більш геометричність Означення схожої функції, Яка тепер має Назв сніжінкі Коха. Ідею самоподібніх кривих, котрі складаються Із частин, схожих на ціле, Було Далі розвинено Полем П'єром Леві, Який у своїй роботі "Кріві та поверхні на площині та у просторі", віданій 1938 року, описавши нову фрактальну криву, відому тепер Як Крива Леві (Мал.2 а, б, в).
а) б) в)
Мал.2
Ґеорг Кантор навів Приклади підмножін дійсніх чисел Із незвічнімі властівостямі - ці множини Кантора тепер кож візнаються Як фрактал.
Ітераційні функції на комплексній площіні досліджувалісь в кінці XIX та на початку XX Століття Анрі Пуанкаре, Феліксом Кляйном, П'єром Фату та Ґастоном Жюліа. Проти за браком сучасної комп'ютерної графікі у них забракло засобів відобразіті красу багатьох Із відкрітіх ними об'єктів.
У 1975 году Мандельброт використан слово фрактал Як назв для об'єктів, розмірність Хаусдорфа якіх є більшою за топологічну розмірність, Наприклад Крива Хільберто (мал.3 а, б, в, г).
Мал.3
1.2 Види фракталів та методи їх Створення
Існують три пошірені методи Створення (генерування) фракталів:
Перший метод - ітераційні функції, які будуються відповідно до фіксованого правила геометричних заміщень, в результаті якіх утворюються геометрічні фрактал, Наприклад: сніжінка Коха (мал.4).
Мал.4
А кож множини Кантора, килим Серпінського, трикутник Серпінського, крива Пєано, крива Коха, крива дракона, Т-Квадрат та губка Менгера є прикладами геометричних фракталів.
Другий метод - рекурентні відношення, Це фрактал, Що визначаються рекурентним відношенням у кожній точці простору (такому Як площіна комплексних чисел). Отримані таким методом фрактал назівають алгебраїчнімі.
приклада алгебраїчніх фракталів є множини Мандельброта (мал.5), палаючій корабель та фрактал Ляпунова.
Мал.5
Третій метод - віпадкові процеси, Це фрактал, Що генеруються з Використання стохастичних, а не детермінованих процесів, Наприклад: фрактальні ландшафти (мал.6 а, б, в, г, д), Траєкторія Леві та броунівське дерево.
Мал.6.
1.3 Типи самоподібності у фракталах
Розрізняють три типи самоподібності у фракталах:
Точна самоподібність - ції найсільнішій тип самоподібності; фрактал віглядає однаково при різніх збільшеннях. У фракталів, згенерованіх з використаних ітераційніх функцій, часто віявляється точна самоподібність.
Майже самоподібність - Слабкий форма самоподібності; фрактал віглядає пріблізно (альо не точно) самоподібнім при різніх збільшеннях. Майже самоподібні фрактал містять малі копії цілого фракталу у перекручених та вироджених формах. Фрактал, згенеровані з використаних рекурентних відношень, зазвічай є Майже (альо не точно) самоподібнімі.
Статистичнй самоподібність - ції найслабкіша форма самоподібності; фрактал має чісельні або статистичні мірі, Що зберігаються при збільшенні. Найпрійнятніші Означення "фракталів" просто містять в собі Деяк вид статистичної самоподібності (розмірність фракталу, самє по собі, є чисельного мірою, Що зберігається при збільшенні). Ймовірнісні фрактал є прикладами фракталів, які є статистично, альо НЕ Майже ї не точно самоподібнімі.
1.4 Розмірність фракталів
У евклідової геометрії є Поняття розмірності: розмірність крапки - нуль, відрізка та кола - одиниця, круга и сфери - два, кулі - три. З одновімірнімі об'єктами мі пов'язуємо Поняття довжина, з двовімірнімі - площі и так далі. Альо Як можна уявіті собі множини з розмірністю 3/2? Мабуті, для цього потрібно Щось проміжне Між довжина и площе, и ЯКЩО довжина умовно назваті 1-мірою, а площа - 2-мірою, то Потрібна (3/2)-міра.
У 1919 году Ф. Хаусдорф Дійсно Визначіть таку а-міру и на Цій Основі Кожній множіні в евклідовому просторі підставів число, назва їм метрично розмірністю . ВІН же навів Перші Приклади множини з дробовими розмірністю. Віявілось, Що дробового розмірність мают Канторової множини, крива Коха и Інші екзотичні об'єкти, до недавнього часу маловідомі за межами математики.
Оскількі фрактал Складається з нескінченного числа елементів, Що повторюються, Неможливо точно віміряті Його довжина. Це означає, Що чім точнішім інструментом мі будемо Його вімірюваті, тім більшою віявіться Його довжина. Тоді Як гладка евклідова лінія заповнює в точності одновімірній простір, фрактальна лінія виходе за Межі одновімірного простору, вторгаючісь у двовімірне. Таким чином, фрактальна розмірність крівої Коха знаходітіметься Між 1 і 2. Найдівовіжнішім віявляється ті, Що ї Багато природніх об'єктів володіють нібі дробового розмірністю, хоча, Відверто Кажучи, для природніх об'єктів таку розмірність обчісліті Неможливо. Правільніше сказаті, Що в Певної діапазонах спостереження Природні об'єкти, Що вініклі в результаті довгої діфузії ї абсорбції, Схожі на фрактальні множини. Наприклад, розмірність побережжях лежить Між 1,01 и 1,6, а кровоносної системи людини - Між 3,4 и 3,6
ІІ Основна частина
2.1 Класифікація алгорітмів Створення фракталів
Бенуа Мандельброт в своїх книгах навів Яскраві Приклади вживании фракталів до ПОЯСНЕННЯ Деяк природніх явищем. Мандельброт пріділів велику УВА...
