Курсова робота
з курсу В«МатематикаВ»
на тему: В«Застосування похідної та інтеграла на вирішення рівнянь і нерівностей В»
Кіровоград
2004
ЗМІСТ
РОЗДІЛ 1. ДЕЯКІ ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ .......................... 4
1.1. Застосування похідної при рішенні нерівностей .................................. 4
1.2. Використання основних теорем диференціального обчислення до
доведенню неравенств .................................................................. 8
1.3. Застосування похідної при рішенні рівнянь .................................. 10
РОЗДІЛ 2. Первісна та ІНТЕГРАЛ У Завдань елементарної
2.1. Застосування інтеграла від монотонних функцій до доказу
2.2. Монотонність інтеграла ................................................................. 19
2.3. Інтеграли від опуклих функцій ...................................................... 21
2.4. Деякі класичні нерівності та їх застосування ........................... 25
ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ .........................
............. 28
ВСТУП
Елементи математичного аналізу займає значне місце у шкільному курсі математики. Учні опановують математичним апаратом, який може бути ефективно використаний при вирішенні багатьох завдань математики, фізики, техніки. Мова похідної та інтеграла дозволяє суворо формулювати багато закони природи. У курсі математики за допомогою диференціального та інтегрального числень досліджуються властивості функцій, будуються їхні графіки, вирішуються завдання на найбільше і найменше значення, обчислюються площі і обсяги геометричних фігур. Іншими словами, введення нового математичного апарату дозволяє розглянути ряд завдань, вирішити які можна елементарними методами. Однак можливості методів математичного аналізу такими завданнями не вичерпується.
Багато традиційні елементарні завдання (доказ нерівностей, тотожностей, дослідження і рішення рівнянь і інші) ефективно вирішуються за допомогою понять похідної та інтеграла. Шкільні підручники і навчальні посібники мало приділяють уваги цим питанням. Разом з тим нестандартне використання елементів математичного аналізу дозволяє глибше засвоїти основні поняття досліджуваної теорії. Тут доводиться підбирати метод розв'язання задачі, перевіряти умови його застосовності, аналізувати отримані результати. По суті, найчастіше проводиться невелике математичне дослідження, в процесі якого розвиваються логічне мислення, математичні здібності, підвищується математична культура.
Для багатьох завдань елементарної математики допускається як В«елементарнеВ», так і В«НеелементарніВ» рішення. Застосування похідної та інтеграла дає як правило більш ефективно рішення. З'являється можливість оцінити силу, красу, спільність нового математичного апарату.
Методи математичного аналізу використовуються не тільки для вирішення поставлених завдань, але і є джерелом отримання нових фактів елементарної математики.
РОЗДІЛ 1
ДЕЯКІ ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ
1.1. Застосування похідної при рішенні нерівностей
Диференціальне числення широко використовується при дослідженні функцій. За допомогою похідної можна знайти проміжки монотонності функції, її екстремальні точки, найбільші і найменші значення.
Якщо функція f має позитивну (негативну) похідну в кожній точці деякого проміжку, то вона зростає (убуває) на цьому проміжку. При знаходженні проміжків монотонності потрібно мати на увазі, що якщо функція зростає (убуває) на інтервалі ( a, b) і неперервна в точках a та b, то вона зростає (Убуває) на відрізку [a, b].
Якщо точка x 0 є точкою екстремуму для функції f і в цій точці існує похідна, то < i> f / (x 0 ) = 0. В точці екстремуму функція може не мати похідну. Внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними. Щоб встановити, чи має функція в даній критичній точці екстремум, користуються такими достатніми ознаками існування екстремуму.
Якщо функція f неперервна в точці x0 і існують такі точки a, b , що f / (x0 )> 0 (f / (x0) <0 ) на інтервалі ( a, x0) і f / (x0) <0 (f / (x0)> 0 ) на інтервалі ( x0, b) , то точка x0 є точкою максимуму (мінімуму) функції f.
Для відшукання найбільших і найменших значень f на відрізку [a, b] досить порівняти між собою значення f в точках a, b і в критичних точках з відрізка [a, b].
Ці результати застосовні при вирішенні багатьох елементарних завдань, пов'язаних з нерівностями.
Нехай, наприклад, потрібно довести, що на деякому проміжку має місце нерівність f (x) Ві g (x). Позначимо f (x)-g (x) через F (x). За допомогою похідної F / (x) знаходимо найменше значення F на даному проміжку. Якщо воно неотрицательно, то у всіх точках розглянутого проміжку F (x) Ві 0 , тобто
f (x) Ві g (x).
Задача 1.1. Довести що (e + x) ex > (ex) e + x для 0
Рішення.
Дане нерівність рівносильне наступному: (ex) ln (e + x)> (e + x) ln (ex).
Нехай f (x) = (ex) ln (e + x) - (e + x) ln (ex),
тоді f / (x) =-ln (e + x) + (ex)/(e + x)-ln (ex) + (e + x)/( ex).
Так як
ln (e + x) + ln (ex) = ln (e 2 -x 2 ) 2 = 2,
то f / (x)> 0 при 0 . Отже, функція f зростає на інтервалі (0, e). Функція f (0) - неперервна. Тому цю точку можна включити в проміжок зростання. Оскільки f (0) = 0 , а f зростає при 0 ВЈ x то f (x)> 0 при 0 Звідси отримуємо рішення задачі 1.
Задача 1.2 . Довести нерівність tg k a + ctg k a Ві 2 + k 2 cos 2 2a, 0 p /2, k - натуральні.
Рішення.
Нерівність можна записати у вигляді:
Нехай спочатку 0 p /4 . На цьому інтервалі ctg a> tg a, cos 2a> 0, тому останнє нерівність еквівалентно нерівності ctg k/2 a-tg k/2 a Ві k * cos 2a.
Покладемо f (a) = ctg n a-tg n a-2n * cos 2a, де n = k/2.
Далі, f / (a) = - (n/sin 2 a) ctg n-1 a - (N/cos 2 a) tg n-1 a + 4n * sin 2a = - n ((ctg n-1 a + tg n-1 a) + (ctg n +1 a + tg n +1 a) - 4sin 2a) < i> ВЈ - n (2-2sin 2a) <0 при 0 p /4 .
Тут, як і в попередній задачі, використаний той факт, що сума взаємно зворотних позитивних чисел більше або дорівнює 2. Таким чином, на інтервалі 0 p /4 функція f убуває. У точці a = p /4 вона неперервна, тому (0 ; < i> p /4] є проміжком спадання f. Найменшим значенням функції на цьому проміжку є f ( p /4) = 0. Отже, f (a) < i> Ві 0 при 0
