Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
В«Гомельський державний університет
ім. Ф. Скорини В»
Математичний факультет
Кафедра диференціальних рівнянь
Курсова робота
В«Застосування рівняння Лагранжа II роду до дослідження руху механічної системи з двома ступенями свободи В»
Гомель 2006
Зміст
Введення
1 Механічна система. Зв'язку. Класифікація зв'язків
2 Можливі переміщення. Число ступенів свободи
3 Узагальнені координати та узагальнені швидкості
4 Узагальнені сили
5 Рівняння Лагранжа другого роду
6 Рівняння Лагранжа другого роду для консервативної системи
7 Застосування рівнянь Лагранжа другого роду до дослідження механічної системи
Висновок
Список використаної літератури
Введення
Рівняння Лагранжа дають єдиний і притому досить простий метод розв'язання задач динаміки. Важлива перевага цих рівнянь полягає в тому, що їх вид і кількість не залежать ні від кількості тіл (або точок), що входять у розглянуту систему, ні від того, як ці тіла рухаються; визначається число рівнянь Лагранжа тільки числом ступенів свободи. Крім того, при ідеальних зв'язках в праві частини рівнянь входять узагальнені активні сили, і, отже, ці рівняння дозволяють заздалегідь виключити з розгляду всі наперед невідомі реакції зв'язків.
Основна задача динаміки в узагальнених координатах полягає в тому, щоб, знаючи узагальнені сили і початкові умови, знайти закон руху системи, тобто визначити узагальнені координати як функції часу. Рівняння Лагранжа являють собою звичайні диференціальні рівняння другого порядку щодо узагальнених координат і складаються незалежно від того, чи розглядається абсолютне (по відношенню до інерціальній системі відліку) або відносний рух механічної системи. З отриманих рівнянь, якщо задані діючі сили і початкові умови, можна, інтегруючи ці рівняння, знайти закон руху системи. Якщо ж задано закон руху, то складені рівняння дозволяють визначити діючі сили.
1 Механічна система. Зв'язку. Класифікація зв'язків
Систему матеріальних точок або тіл, рух якої розглядається, будемо називати механічної системою. Якщо між точками (тілами) механічної системи діють сили взаємодії, то вона має тим властивістю, що в ній положення або рух кожної точки (тіла) залежить від положення і руху всіх інших. Класичним прикладом такої системи є сонячна система, в якій всі тіла пов'язані силами взаємного тяжіння.
Визначення 1 [1, с. 357]: Зв'язками називаються будь-якого виду обмеження, які накладаються на положення і швидкості точок механічної системи і виконуються незалежно від того, які на систему діють задані сили.
Розглянемо, як класифікуються ці зв'язки.
Зв'язки, не змінюються з часом, називаються стаціонарними, а змінюються з часом - нестаціонарними.
Зв'язки, що покладають обмеження на положення (координати) точок системи, називаються геометричними, а що покладають обмеження ще й на швидкості (перші похідні від координат за часом) точок системи - кінематичними або диференціальними.
Якщо диференціальну зв'язок можна представити як геометричну, тобто встановлювану цим зв'язком залежність між швидкостями звести до залежності між координатами, то такий зв'язок називається интегрируемой, а в іншому випадку - неінтегріруемой.
Геометричні і інтегруються диференціальні зв'язки називаються голономні зв'язками, а неінтегріруемие диференціальні зв'язку - неголономних.
По виду зв'язків механічні системи теж поділяють на голономні (з голономні зв'язками) і неголономних (містять неголономних зв'язку).
Нарешті, розрізняють зв'язку утримують (накладаються ними обмеження зберігаються при будь-якому положенні системи) і неудержівающіе, які цим властивістю не володіють.
2 Можливі переміщення. Число ступенів свободи
Визначення 2 [1.С. 358] : Можливим переміщенням механічної системи називається будь-яка сукупність елементарних переміщень точок цієї системи із займаного в даний момент часу положення, які допускаються всіма накладеними на систему зв'язками.
Механічна система може мати безліч різних можливих переміщень. Однак для будь із систем можна вказати деяке число таких незалежних між собою переміщень, що всяке інше можливе переміщення може бути через них виражено.
Визначення 3 [1, с. 359]: Число незалежних між собою можливих переміщень механічної системи називаються числом ступенів свободи цієї системи.
Отже, точка, що знаходиться на площині, має два ступені свободи; одночасно її положення на площині визначається двома незалежними координатами (Координатами, кожна з яких може змінюватися незалежно від іншого), наприклад координатами х і у. Вільна матеріальна точка має три ступені свободи (незалежними будуть три можливі переміщення вздовж трьох взаємно перпендикулярних осей); одночасно положення точки визначається трьома незалежними координатами х, у, z.
Цей результат виявляється загальним, тобто у механічної системи з геометричними зв'язками число незалежних координат, що визначають положення системи, збігається з числом її ступенів свободи. Тому у такої системи число ступенів свободи можна визначати як по числу незалежних можливих переміщень, так і по числу незалежних координат.
3 Узагальнені координати і узагальнені швидкості
Число координат (параметрів), що визначають положення механічної системи, залежить від кількості точок (тіл), що входять в систему, і від числа і характеру накладених зв'язків. Будемо надалі розглядати тільки системи з геометричними зв'язками (точніше тільки голономні системи). У такої системи число незалежних координат, що визначають положення системи, збігається з числом її ступенів свободи. В якості цих координат можна вибирати параметри, що мають будь-яку розмірність і будь геометричний (або фізичний) зміст, зокрема відрізки прямих або дуг, кути, площі і т.д.
Визначення 4 [1, с. 369]: Незалежні між собою параметри будь-якої розмірності, число яких дорівнює числу мір свободи системи і які однозначно визначають її положення, називаються узагальненими координатами системи. Будемо позначати узагальнені координати буквою q. Тоді положення системи, що має s мір свободи, буде визначатися s узагальненими координатами
Визначення 5 [1, с. 370]: Похідні від узагальнених координат за часом називаються узагальненими швидкостями системи.
4 Узагальнені сили
Розглянемо механічну систему з n механічних точок,, ...,, що знаходиться під дією системи сил,, ...,.
Припустимо, що система має s мір свободи, тобто положення визначається s узагальненими координатами .
За наявності нестаціонарних зв'язків радіус-вектор є функцією узагальнених координат і часу:
,) (i = 1,2, ..., n).
Повідомимо елементарне прирощення тільки одній координаті, залишаючи незмінними всі інші узагальнені координати.
Тоді радіус-вектор точки М отримає прирощення, обумовлене збільшенням цієї координати:
=.
Обчислимо роботу всіх сил, що діють на механічну систему на переміщення точок, викликаних переміщенням координати:
====
Розділивши на елементарне прирощення узагальненої координати, одержимо величину, яка називається узагальненою силою:
= (1)
Визначення 6 [2, с. 320] : Узагальненої силою, відповідної узагальненій координаті, називається скалярна величина, що визначається ставленням елементарної роботи діючих сил на переміщення механічної системи, викликаному еле...