ВИЩА МАТЕМАТИКА
Числові ряди
Зміст
Лекція. Числові ряди
1. Визначення числового ряду. Збіжність
2. Основні властивості числових рядів
3. Ряди з додатними членами. Ознаки збіжності
4. Знакозмінні ряди. Ознака збіжності Лейбніца
5. Знакозмінні ряди
Питання для самоперевірки
Література
Лекція. Числові ряди
1. Визначення числового ряду. Збіжність.
2. Основні властивості числових рядів.
3. Ряди з додатними членами. Ознаки збіжності.
4. Знакозмінні ряди. Ознака збіжності Лейбніца.
5. Знакозмінні ряди.
1. Визначення числового ряду. Збіжність
В математичних додатках, а також при вирішенні деяких завдань в економіці, статистикою та інших областях розглядаються суми з нескінченним числом доданків. Тут ми дамо визначення того, що розуміється під такими сумами.
Нехай задана нескінченна числова послідовність
,, ...,, ...
Визначення 1.1 . числові поруч або просто поруч називається вираз (сума) виду
. (1.1)
Числа називаються членами ряду , - Загальним або n - м членом ряду.
Щоб задати ряд (1.1) достатньо задати функцію натурального аргументу обчислення-го члена ряду по його номером
Приклад 1.1 . Нехай. Ряд
(1.2)
називається гармонійним поруч .
Приклад 1.2 . Нехай, Ряд
(1.3)
називається узагальненим гармонічним рядом . В окремому випадку при виходить гармонійний ряд.
Приклад 1.3 . Нехай =. Ряд
(1.4)
називається поруч геометричній прогресії .
З членів ряду (1.1) утворюємо числову послідовність часткових сум де - сума перших членів ряду, яка називається n - ї часткової сумою , тобто
,
,
,
..................................
, (1.5)
..................................
Числова послідовність при необмеженому зростанні номера може:
1) мати кінцевий межа;
2) не мати кінцевого межі (межа не існує або дорівнює нескінченності).
Визначення 1.2 . Ряд (1.1) називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум (1.5) має кінцевий межа, тобто
В цьому випадку число називається сумою ряду (1.1) і пишеться
.
Визначення 1.3. Ряд (1.1) називається розбіжним, якщо послідовність його часткових сум не має кінцевого межі .
розбіжних ряду не приписують ніякої суми.
Таким чином, задача знаходження суми сходящегося ряду (1.1) рівносильна обчисленню границі послідовності його часткових сум.
Розглянемо кілька прикладів.
Приклад 1.4. Довести, що ряд
сходиться, і знайти його суму.
Знайдемо n - ю часткову суму даного ряду.
Загальний член ряду представимо у вигляді.
Тоді
Звідси маємо:. Отже, даний ряд сходиться і його сума дорівнює 1:
Приклад 1.5 . Досліджувати на збіжність ряд
(1.6)
Для цього ряду
. Отже, даний ряд розходиться.
Зауваження. При ряд (1.6) являє собою суму нескінченного числа нулів і є, очевидно, сходящимся.
Приклад 1.6. Досліджувати на збіжність ряд
(1.7)
Для цього ряду
В цьому випадку межа послідовності часткових сум не існує, і ряд розходиться.
Приклад 1.7. Досліджувати на збіжність ряд геометричної прогресії (1.4):
Неважко показати, що n -я часткова сума ряду геометричній прогресії при задається формулою
.
Розглянемо випадки:
1) Тоді і.
Отже, ряд сходиться і його сума дорівнює
2) .
Тоді і.
Отже, ряд розходиться.
3) або Тоді вихідний ряд має вид (1.6) або (1.7) відповідно, які розходяться. Остаточно маємо
(1.8)
Приклад 1.8. Знайти суму ряду
Очевидно, що даний ряд є поруч геометричній прогресії. У нашому випадку. Тоді з формули (1.8) слід
.
Дослідження на збіжність гармонійного ряду (1.2) і узагальненого гармонічного ряду (1.3) буде проведено в наступному розділі.
2. Основні властивості числових рядів
Властивості суми кінцевого числа доданків відрізняються від властивостей ряду, тобто суми нескінченного числа доданків. Так, у разі кінцевого числа доданків їх можна групувати в якому завгодно порядку, від цього сума не зміниться. Існують сходяться ряди (умовно збіжні, які будуть розглянуті в розділі 5), для яких, як показав Ріман *, змінюючи належним чином порядок проходження їх членів, можна зробити суму ряду рівній якого завгодно числу, і навіть розбіжний ряд.
Приклад 2.1. Розглянемо розбіжний ряд виду (1.7)
Згрупувавши його члени попарно, отримаємо сходиться числовий ряд з сумою, рівною нулю:
З іншого боку, згрупувавши його члени попарно, починаючи з другого члена, отримаємо також збіжний ряд, але вже з сумою, що дорівнює одиниці:
Сходяться ряди мають деякі властивості, які дозволяють діяти з ними, як з кінцевими сумами. Так їх можна множити на числа, почленно складати і віднімати. У них можна об'єднувати в групи будь поруч стоять доданки.
Теорема 2.1. (Необхідний ознака збіжності ряду).
Якщо ряд (1.1) сходиться, то його загальний член прагне до нуля при необмеженому зростанні n , тобто
(2.1)
Доказ теореми випливає з того, що, і якщо
S - сума ряду (1.1), то
Умова (2.1) є необхідною, але недостатньою умовою для збіжності ряду. Т. е., якщо загальний член ряду прямує до нуля при, то це не значить, що ряд сходиться. Наприклад, для гармонійного ряду (1.2) проте, як буде показано нижче, він розходиться.
Слідство ( Достатній ознака расходимости ряду).
Якщо загальний член ряду не прагне до нулю при, то цей ряд розбігається.
Приклад 2.2. Досліджувати на збіжність ряд
.
Для цього ряду
Отже, даний ряд розходиться.
Розглянуті вище розбіжні ряди (1.6), (1.7) також є такими в силу того, що для них не виконується необхідна ознака збіжності. Для ряду (1.6) межа для ряду (1.7) межа не існує.
Властивість 2.1 . Збіжність чи розбіжність ряду не зміниться, якщо довільним чином видалити з нього, додати до нього, переставити в ньому кінцеве число членів (при цьому для сходящегося низки його сума може змінитися).
Доказ властивості випливає з того, що ряд (1.1) і будь-якої його залишок сходяться чи розходяться одночасно.
Властивість 2.2 . збіжними ряд можна множити на число, тобто, якщо ряд (1.1) сходиться, має суму S і c - деякий число, тоді
Доказ випливає з того, що для кінцевих сум справедливі рівності
Властивість 2.3. Сходяться ряди можна почленно додавати і віднімати, тобто якщо ряди,
сходяться,
то і ряд
сходиться і його сума дор...
