Зміст
Введення. 2
1. Характери .. 3
1.1 Визначення характеру. Основні властивості характерів. 3
1.2 Суми характерів. Співвідношення ортогональності. 6
1.3 Характери Дирихле. 8
2. L-функція Діріхле. 13
3. Доказ теореми Діріхле. 29
Введення
Прості числа розташовані в натуральному ряді вельми нерівномірно.
Метою даної роботи є доказ наступної теореми про прості числа в арифметичній прогресії.
Теорема Діріхле. Якщо різниця і перший член арифметичної прогресії є взаємно прості натуральні числа, то вона містить нескінченну безліч простих чисел.
Нехай
mn + l , n = 1,2, ...,
прогресія, задовольнить умові теореми.
Умова ( m , l ) = 1, накладені на числа m і e у формулюванні теореми, природно, оскільки в разі, коли d = ( m , l )> 1, всі члени прогресії діляться на d і тому не є простими числами.
Сформульована теорія була вперше висловлена ​​Л. Ейлером у 1783 р. У 1798 р. А. Лежандр опублікував доказ для парних m , використовувала, як з'ясувалося пізніше, одну помилкову лему.
Повністю довів теорему в 1837-1839 рр.. Петер Густав Лежен-Діріхле (1805-1859), німецький математик, автор праць з аналітичної теорії чисел, теорії функцій, математичній фізиці.
У 1837 р. вийшли дві роботи Діріхле, присвячені теоремі про прості числа в арифметичній прогресії. Вони містили формулювання теореми в загальному вигляді, однак доказ наводилося лише для випадку, коли різниця прогресії є просте число. В кінці другої роботи міститься побудова характерів для довільного модуля і деякі твердження про те, як можна довести твердження L (1, П‡) В№ 0 для неголовних характерів x в одному випадку. У 1839 р. Діліхле опублікував повний доказ теореми про прості числа в арифметичній прогресії. З тих пір вона носить його ім'я.
1. Характери
1.1 Визначення характеру. Основні властивості характерів
Характером (від грецького хараГ¦П„О®p-ознака, особливість) П‡ кінцевої абелевих групи G називається не рівна тотожно нулю комплекснозначних функція, визначена на цій групі і що володіє тим властивістю, що якщо, АГЋ G і BГЋ G
П‡ (АВ) = П‡ (А) П‡ (В).
Позначимо через Е одиничні елементи в групі G і через А -1 зворотний елемент для АГЋ G
Характери групи G володіють наступними властивостями :
1 . Якщо Е-одиниця групи, то для кожного характеру П‡
П‡ (Е) = 1 (1.1)
Доказ . Нехай для кожного елемента АГЋ G справедливо нерівність
c 1 (А) = c (АЕ) = c (А) П‡ (Е)
З цього рівності одержимо, що c (Е) В№ 0. Тепер з рівності
c (Е) = c (ЇЇ) = c (Е) c (Е) = 1
слід рівність (1.1)
2 . c (А) В№ 0 для кожного АГЋ G
Дійсно, якби П‡ (А) = 0 для деякого АГЋ G , то
c (А) П‡ (А -1 ) = c (АА -1 ) = П‡ (Е) = 0,
а це суперечить властивості 1.
3 . Якщо група G має порядок h, то А h = Е для кожного елемента АГЋ G Отже,
1 = П‡ (Е) = П‡ (А h ) = П‡ (А) h ,
тобто П‡ (А) є деякий корінь ступеня h з одиниці.
Характер П‡ 1, володіє властивістю П‡ 1 (А) = 1 для кожного елемента АГЋG, називається головним характером групи G . Решта характери називаються неголовних.
Лемма 1. Нехай Н підгрупа кінцевої абелевих груп G , причому G / H - циклічна порядку n , тоді для кожного характеру П‡ H - підгрупи Н існує рівно n характерів.
Доказ . Розглянемо групу G = g k H , причому g n H = H, g n ГЋH і g n = h 1 = 1.
Для кожного елемента XГЋ G існує і притому єдине к = до х і h х = h таке, що якщо 0 ВЈ до х k х h х = g k h. Візьмемо ще один елемент групи G , Y = g m h y , де 0 ВЈ m
ХY = g до + m hh y .
Визначимо характер П‡ (X).
П‡ (X) = П‡ (g до h) = П‡ (g до ) П‡ (n) = П‡ до (g ) П‡ H (h).
У даному виразі невідомим є П‡ (g).
П‡ n (g) = П‡ (g n ) = П‡ (h 1 ) = П‡ H (h 1 ) - дане число.
П‡ ( g ) = - n коренів з 1,
тобто Оѕ С? n = П‡ n (g) = П‡ H (h 1 ), отримуємо x k (g) = Оѕ С? n . Отже, x (g) = Оѕ 1 , ..., Оѕ n
З отриманих рівностей одержуємо:
П‡ (X) = П‡ k (g) П‡ H (h x ) = Оѕ j kx П‡ H (h x )
П‡ (Y) = П‡ m (g) П‡ H (h y ) = Оѕ j ky П‡ H (h y )
Визначимо множення характерів
П‡ (X) П‡ (Y) = Оѕ j ky П‡ H (h y ) Оѕ j k - x П‡ H (h x ) = Оѕ j kx + ky П‡ H (h x ) П‡ < sub> H (h y ) = j k + m П‡ H (hh y )
Для того щоб визначення виконувалося, необхідно розглянути ступінь g kx + kx . Можливі два випадки:
1) Якщо 0 ВЈ до х + k y
до х + k y = k xy , ; h x h y = h xy .
У цьому випадку визначення виконується.
2) Якщо n ВЈ до х + k y <2n-1, то отримаємо
до х + k y = n + k xy . .
Тоді
XY = g kx + ky h x h y = g kx + ky - n h 1 h x h y
У свою чергу 0 ВЈ до х + k y - n ВЈ n-1 Гћ k x + k y - n = k xy , h 1 h x h y = h xy .
П‡ (XY) = Оѕ j k х + k < sup> у П‡ н (h x у) = Оѕ j k х + k у - n
