Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
В«Гомельський державний університет
імені Франциска Скорини В»
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Допущена до захисту
Зав. кафедрою Шеметков Л.А.
В« 2008 р.
Тригонометричні рівняння і нерівності
Курсова робота
Виконавець:
студент групи М-51
С.М. Горський
Науковий руководітельк.ф. - м.н.,
старший викладач
В.Г. Сафонов
Гомель 2008
Зміст
ВСТУП
ОСНОВНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ
Елементарні тригонометричні рівняння
Введення допоміжного аргументу
Схема рішення тригонометричних рівнянь
Перетворення і об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь
Розкладання на множники
Рішення рівнянь перетворенням добутку тригонометричних функцій у суму
Рішення рівнянь із застосуванням формул зниження ступеня
Рішення рівнянь із застосуванням формул потрійного аргументу
Рівність однойменних тригонометричних функцій
Домноженіе на деяку тригонометричну функцію
Зведення тригонометричних рівнянь до алгебраїчних
НЕСТАНДАРТНІ Тригонометричні рівняння
Використання обмеженості функцій
Функціональні методи рішення тригонометричних і комбінованих рівнянь
Рішення з дослідженням функції
тригонометричні НЕРІВНОСТІ
Рішення тригонометричних нерівностей за допомогою одиничної окружності
Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом
ВІДБІР КОРЕНІВ
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ
ВИСНОВОК
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
ВСТУП
В давнину тригонометрія виникла у зв'язку з потребами астрономії, землемерия і будівельної справи, тобто носила чисто геометричний характер і представляла головним чином <<вирахування хорд>>. З часом в неї почали вкрапляться деякі аналітичні моменти. У першій половині 18-го століття відбувся різкий перелом, після чого тригонометрія прийняла нове напрямок і змістилася у бік математичного аналізу. Саме в цей час тригонометричні залежності стали розглядатися як функції.
Тригонометричні рівняння одна з найскладніших тем у шкільному курсі математики. Тригонометричні рівняння виникають при вирішенні завдань по планіметрії, стереометрії, астрономії, фізики і в інших областях. Тригонометричні рівняння і нерівності з року в рік зустрічаються серед завдань централізованого тестування.
Самое важлива відмінність тригонометричних рівнянь від алгебраїчних полягає в тому, що в рівняннях алгебри кінцеве число коренів, а в тригонометричних --- Нескінченне, що сильно ускладнює відбір коренів. Ще однією специфікою тригонометричних рівнянь є неєдиним форми запису відповіді.
Дана дипломна робота присвячена методам рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей.
Дипломна робота складається з 6 розділів.
В першому розділі наведені основні теоретичні відомості: визначення і властивості тригонометричних і зворотних тригонометричних функцій; таблиця значень тригонометричних функцій для деяких аргументів; вираз тригонометричних функцій через інші тригонометричних функції, що дуже важливо для перетворення тригонометричних виразів, особливо містять зворотні тригонометричні функції; крім основних тригонометричних формул, добре відомих зі шкільного курсу, наведено формули спрощують вирази, містять зворотні тригонометричні функції.
Під другому розділі викладені основні методи рішення тригонометричних рівнянь. Розглянуто рішення елементарних тригонометричних рівнянь, метод розкладання на множники, методи відомості тригонометричних рівнянь до алгебраїчних. З огляду на те, що рішення тригонометричних рівнянь можна записати декількома способами, і вид цих рішень не дозволяє відразу встановити, чи є ці рішення однаковими або різними, що може <<спантеличити>> при вирішення тестів, розглянута загальна схема рішення тригонометричних рівнянь і докладно розглянуто перетворення груп загальних рішень тригонометричних рівнянь.
В третьому розділі розглядаються нестандартні тригонометричні рівняння, рішення яких засноване на функціональному підході.
В четвертому розділі розглядаються тригонометричні нерівності. Детально розглянуті методи рішення елементарних тригонометричних нерівностей, як на одиничної окружності, так і графічним методом. Описано процес вирішення Неелементарні тригонометричних нерівностей через елементарні нерівності і вже добре відомий школярам метод інтервалів.
В п'ятому розділі представлені найбільш складні завдання: коли необхідно не тільки вирішити тригонометричне рівняння, але й із знайдених коренів відібрати коріння, задовольняють якомусь умові. У даному розділі наведені рішення типових завдань на відбір коренів. Наведено необхідні теоретичних відомості для відбору коренів: розбивка множини цілих чисел на непересічні підмножини, рішення рівнянь в цілих числах (діафантових).
В шостому розділі представлені задачі для самостійного рішення, оформлені у вигляді тесту. У 20 завданнях тесту наведені найбільш складні завдання, які можуть зустрітися на централізованому тестуванні.
ОСНОВНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ
Елементарні тригонометричні рівняння
Елементарні тригонометричні рівняння --- це рівняння виду, де --- одна з тригонометричних функцій:,,,.
Елементарні тригонометричні рівняння мають нескінченно багато коренів. Наприклад, рівнянню задовольняють наступні значення:,,, і т. д. Загальна формула по якій знаходяться всі корені рівняння, де, така:
Тут може приймати будь-які цілі значення, кожному з них відповідає певний корінь рівняння; в цій формулі (так само як і в інших формулах, за якими вирішуються елементарні тригонометричні рівняння) називають параметром . Записують звичайно, підкреслюючи тим самим, що параметр приймати будь-які цілі значення.
Рішення рівняння, де, знаходяться за формулою
Рівняння вирішується застосовуючи формулу
а рівняння --- за формулою
Особливо відзначимо деякі окремі випадки елементраних тригонометричних рівнянь, коли рішення може бути записано без застосування загальних формул:
При рішенні тригонометричних рівнянь важливу роль відіграє період тригонометричних функцій. Тому наведемо дві корисні теореми:
Теорема Якщо --- Основний період функції, то число є основним періодом функції.
Періоди функцій і називаються сумірними, якщо існують натуральні числа і, що.
Теорема Якщо періодичні функції і, мають сумірні і, то вони мають загальний період , Який є періодом функцій,,.
В теоремі говориться про те, що є періодом функції,,, і не обов'язково є основним періодом. Наприклад, основний період функцій і ---, а основний період їх твори ---.
Введення допоміжного аргументу
Стандартним шляхом перетворення виразів виду є наступний прийом: нехай --- кут, задається рівностями,. Для будь-яких і такий кут існує. Таким чином. Якщо, або,,, в інших випадках.
Схема рішення тригонометричних рівнянь
Основна схема, якою ми будемо керуватися при вирішенні тригонометричних рівнянь наступна:
рішення заданого рівняння зводиться до вирішення елементарних рівнянь. Засоби вирішення --- Перетворення, розкладання на множники, заміна невідомих. Провідний принцип --- Не втрачати коріння. Це означає, що при переході до наступного рівнянню (Рівнянням) ми не побоюємося появи зайвих (сто...
