Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
В«Гомельський державний університет
імені Франциска Скорини В»
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Допущена до захисту
Зав. кафедрою Шеметков Л.А.
В« В» 2008 р.
Курсова робота
Рівняння і нерівності з модулем на централізованому тестуванні
Виконавець:
студент групи М-51 С.М. Горський
Науковий керівник:
к.ф. - м.н., старший викладач В.Г. Сафонов
Гомель 2008
Зміст
Введення
Абсолютна величина і її властивості
Найпростіші рівняння і нерівності з модулем
Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем
Інші способи вирішення рівнянь і нерівностей з модулем
Метод розкриття модулів
Використання тотожності, при рішенні рівнянь
Рішення рівнянь містять модулі невід'ємних виразів
Рішення рівнянь із використанням геометричної інтерпретації
Рішення рівнянь із використанням тотожності
Застосування теореми про знаках при вирішенні рівнянь
Рішення рівнянь переходом до слідства
Рішення рівнянь методом інтервалів
Рішення рівнянь домноженіем на позитивний множник
Типові тестові завдання, містять змінну під знаком модуля
Висновок
Список використаних джерел
Введення
Поняття абсолютної величини (модуля) є однієї з найважливіших характеристик числа як в області дійсних, так і в області комплексних чисел.
Це поняття широко застосовується не тільки в різних розділах шкільного курсу математики, але і в курсах вищої математики, фізики й технічних наук, досліджуваних у вузах. Наприклад, в теорії наближених обчислень використовуються поняття абсолютної і відносної похибок наближеного числа. У механіці і геометрії вивчаються поняття вектора та його довжини (модуля вектора). В математичному аналізі поняття абсолютної величини числа міститься в визначеннях таких основних понять, як межа, обмежена функція та ін Завдання, пов'язані з абсолютними величинами, часто зустрічаються на математичних олімпіадах, вступних іспитах до вузів, на ЦТ і на ЄДІ.
Програмою шкільного курсу математики не передбачені узагальнення і систематизація знань про модулях, їх властивості, отриманих учнями за весь період навчання. Даний пробіл і намагається заповнити справжній диплом.
Дипломна робота складається з 5 розділів.
В першому розділі наведено рівносильні визначення модуля, його геометрична інтерпретація, властивості абсолютної величини. На прикладі показано, як використовуючи модуль, яку систему рівнянь і нерівностей з однією і теж областю визначення можна представити у вигляді одного рівносильного порівняння. Так само показано на прикладі, як лінійний сплайн, предствавіть у вигляді одного рівняння з модулями. Наведено приклади завдань, в яких використовуються або властивості модуля, або рівняння і нерівності, що містять знак абсолютної величини, виникають в процесі вирішення.
Під другому розділі представлені методи вирішення найпростіших рівнянь і нерівностей з модулями, вирішення яких не вимагає використання трудомісткого процесу розкриття модулів.
В третьому розділі представлено графічне рішення рівнянь і нерівностей, містять знак абсолютної величини. Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем в деяких випадках набагато більш просте, ніж аналітичне. У цьому розділі розглянуті побудова графіків функцій, і. Багато уваги приділено побудови графіків функцій, що представляють собою суму лінійних виразів під знаком абсолютної величини. Так само наведені приклади побудови графіків функцій з `` вкладеними'' модулями. Наведено теореми про екстремуми функції, містять суму лінійних виразів під знаками абсолютних величин, що дозволяють ефективно вирішувати завдання як на знаходження екстремумів подібних функції, так і вирішувати завдання з параметрами.
В четвертому розділі представлені додаткові методи розв'язання рівнянь і нерівностей, що містять знак абсолютної величини. В першу чергу описаний трудомісткий і не завжди раціональний, а в деяких випадках і непридатний метод розкриття модулів, іноді званий метод інтервалів, за допомогою якого можна вирішити будь-яке рівняння і неревенство з модулем. Описано метод використання тотожності; розглянуті метод геометричної інтерпретації, використання тотожності, застосування теореми про знаках, метод переходу до слідства, метод інтервалів, метод домноженія на позитивний множник.
В п'ятому розділі наведені приклади розв'язання типових тестових завдань пов'язаних з поняттям абсолютна величина. Наведено рішення як `` стандартних'' завдань, в вирішенні яких необхідно отримати яку-небудь комбінацію рішень, так і завдань з параметрами. Для деяких завдань наведено кілька способів рішення, іноді вказані типові помилки виникають у процесі вирішення. Для всіх завдань наведено найбільш ефективне, по швидкості, рішення.
Абсолютна величина і її властивості
Модуль. Властивості модуля
Визначення. Модуль числа або абсолютна величина числа дорівнює, якщо більше або дорівнює нулю і дорівнює, якщо менше нуля:
З визначення випливає, що для будь-якого дійсного числа,.
Теорема Абсолютна величина дійсного числа дорівнює більшому із двох чисел або.
1. Якщо число позитивно, то негативно, тобто. Звідси випливає, що.
В цьому випадку, тобто збігається з великим з двох чисел і.
2. Якщо негативно, тоді позитивно і, тобто більшим числом є. За визначенням, в цьому випадку, --- знову, так само більшого з двох чисел і.
Слідство З теореми випливає, що.
В Насправді, як, так і рівні більшому із чисел і, а значить, рівні між собою.
Слідство Для будь-якого дійсного числа справедливі нерівності,.
Множачи друга рівність на (при цьому знак нерівності зміниться на протилежний), ми отримаємо наступні нерівності:, справедливі для будь-якого дійсного числа. Об'єднуючи останні дві нерівності в одне, отримуємо:.
Теорема Абсолютна величина будь-якого дійсного числа дорівнює арифметичному квадратному кореню з:.
В Насправді, якщо, то, по визначенню модуля числа, будемо мати. З іншого боку, при,, значить.
Якщо , Тоді і і в цьому випадку.
Ця теорема дає можливість при вирішенні деяких завдань замінювати на.
Геометрично означає відстань на координатної прямої від точки, що зображає число, до початку відліку.
Якщо , То на координатній прямій існує дві точки і, рівновіддаленою від нуля, модулі яких рівні.
Якщо , То на координатній прямій зображується точкою.
Властивості модуля
З цієї властивості випливає, що;.
Рівносильні переходи між рівняннями з модулями
Тема `` Абсолютна величина'' (або `` Модуль числа'') є найбільш експлуатованої в практиці вступних іспитів. Ймовірно, це пояснюється відчуттям простоти поняття абсолютної величини числа і тією обставиною, що, використовуючи модуль, будь-яку систему і сукупність рівнянь і нерівностей з однією і тією ж областю визначення можна представити у вигляді одного рівносильного порівняння.
Подивимося, на прикладі, як система одного нерівності і сукупність двох нерівностей перетвориться до одного рівносильному рівнянню.
В основі зазначених перетворень лежать наступні легко доказувані твердження:
Варіант приведе...
