Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
В«Гомельський державний університет
імені Франциска Скорини В»
Математичний факультет
Кафедра диференціальних рівнянь
Дипломна робота
Стійкість за Ляпуновим
Гомель 2007
Зміст
Введення
Стійкість рішень диференціальних систем і функції Ляпунова
Стійкість за Ляпуновим
Метод функцій Ляпунова. Теореми Ляпунова
Методи побудови функцій Ляпунова
Поняття продолжімості рішення. Ознака Вінтера-Еругіна
Застосування функцій Ляпунова до дослідження продолжімості рішень диференціальних систем
Розвиток методу функцій Ляпунова
Функції Ляпунова і продолжімость рішень диференціальних рівнянь
Продолжімость всіх рішень деяких рівнянь третього порядку
Висновок
Список використаних джерел
Введення
Поняття функцій Ляпунова з'явилося у зв'язку з розвитком теорії стійкості, початок якої поклали праці великого російського математика А.М. Ляпунова. Народження теорії стійкості як самостійної наукової дисципліни можна віднести до часу появи докторської дисертації А.М. Ляпунова "Загальна задача про стійкість руху ", вперше опублікованої в Харкові в 1892 році. За Останніми роками спостерігається бурхливий ріст цієї теорії, викликаний потребами розвивається техніки, зокрема, теорії автоматичного регулювання та управління.
Розвиток теорії стійкості руху здійснюється двома шляхами: по-перше, розширенням кола завдань і, по-друге, створенням нових і посиленням вже відомих методів дослідження. Метод функцій Ляпунова (відомий також як другий або прямий метод Ляпунова) є одним з найбільш ефективних методів дослідження стійкості, чим викликане і його широке застосування в теорії управління. Значення його далеко не вичерпується можливістю встановлення факту стійкості або нестійкості досліджуваної системи. Вдало побудована функція Ляпунова для конкретної системи дозволяє вирішувати цілий комплекс завдань, які мають важливе прикладне значення, наприклад, отримання оцінки зміни регульованої величини, оцінки часу регулювання, оцінки якості регулювання, оцінки області тяжіння (безлічі всіх початкових збурень, зникаючих в часі), оцінки впливу постійно діючих збурень і інші.
Функції Ляпунова дозволяють вирішувати питання стійкості в "великому", тобто оцінювати область початкових збурень, що не виходять з плином часу за межі заданої області. За допомогою функцій Ляпунова вирішується проблема існування чи відсутності періодичних рішень, встановлюється обмеженість і продолжімость всіх рішень заданої нелінійної системи звичайних диференціальних рівнянь.
В зв'язку з широким застосуванням функцій Ляпунова виникло питання універсальності цього методу. Рішенням цього завдання займалися Я.П. Перська, М.М. Красовський, Е.А. Барбашин, Я. Курцвейл, Ж.Л. Массера та інші математики. Було встановлено, що в теорії стійкості цей метод універсальний для широкого кола завдань. У цьому зв'язку виникла задача про методи побудови функцій Ляпунова. Слід зауважити, що відомі методи побудови функцій Ляпунова, розроблені для отримання достатніх умов стійкості, не є достатньо ефективними, оскільки кожен з них пристосований для дослідження конкретних систем. Тому проблему побудови функцій Ляпунова для нелінійних систем у Нині не можна вважати вирішеною.
Дана робота містить дослідження питання про застосування функцій Ляпунова до дослідженню продолжімості рішень диференціальних рівнянь.
Стійкість рішень диференціальних систем і функції Ляпунова
В даній роботі ми будемо розглядати системи диференціальних рівнянь в нормальній формі. Нагадаємо, що система звичайних
(??)
диференціальних рівнянь називається нормальною. У цій системі --- незалежна змінна, --- невідомі функції цієї змінної, а --- функції від змінної, задані на безлічі простору розмірності, в якому координатами точки є числа. Надалі будемо припускати, що функції
(??)
безупинні на відкритому безлічі; також будемо припускати, що їх приватні похідні
(??)
існують і безупинні на безлічі. Слід зауважити, що приватні похідні (??), безперервність яких передбачається, беруться тільки по змінним, а не по незалежній змінній.
Рішенням системи рівнянь (??) називається система безперервних функцій
(??)
певних на деякому інтервалі і задовольняють системі (??). Інтервал називається інтервалом визначення рішення (??) (випадки, не виключаються). Вважається, що система функцій (??) задовольняє системі рівнянь (??), якщо при підстановці в співвідношення (??) замість функцій (??) співвідношення (??) перетворюються в тотожності за на всьому інтервалі і щоб праві частини рівнянь (??) були визначені для всіх підставляти в них значень аргументів. Таким чином, точка з координатами повинна належати безлічі для всіх значень на інтервалі.
Стійкість за Ляпуновим
Розглянемо систему диференціальних рівнянь
(??)
Виділимо деяке рішення системи (??) і назвемо його необуреним рішенням.
Рішення назвемо стійким в сенсі Ляпунова, якщо для будь-якого можна вказати таке, що з нерівності слід нерівність при. Тут через позначено будь-яке інше рішення системи (??), яке визначається початковою умовою. Рішення називається асимптотично стійким в сенсі Ляпунова, якщо воно стійко в сенсі Ляпунова і якщо існує таке, що при матимемо
(??)
Приклад Рішення рівняння НЕ є стійким ні праворуч, ні ліворуч, тому кожне рішення, де (), перестає існувати при (рис. 1).
Приклад. Рішення рівняння нестійко праворуч, тому всі рішення,,, наближаються до при. Кожне рішення так само, як і рішення, є асимптотично стійким праворуч (рис. 2).
Проведемо в системі (??) заміну змінних. Нова система буде мати вигляд
вводячи позначення
отримаємо систему
(??)
де при. Рішення перейшло при розглянутої заміні змінних в положення рівноваги нової системи. Завдання стійкості рішення переходить, таким чином, в задачу стійкості нульового (тривіального) рішення системи (??).
Наведемо визначення стійкості нульового розв'язку системи (??).
Рішення системи (??) називається стійким в сенсі Ляпунова, якщо для будь-якого можна вказати таке, що з нерівності слід нерівність при . Якщо ж, крім того, яке рішення, початкові дані якого визначаються умовою, володіє властивістю, то нульове рішення називається асимптотично стійким в сенсі Ляпунова.
Метод функцій Ляпунова. Теореми Ляпунова
Проілюструємо ідею методу на простому прикладі:
(??)
Розглянемо функцію. Ця функція позитивна усюди, окрім точки, де вона звертається в нуль. В просторі змінних рівняння визначає параболоїд з вершиною в початку координат. Лінії рівня цієї поверхні на площині представляють собою еліпси. Задамо довільно мале. Побудуємо на площині коло радіуса. Візьмемо одну з ліній рівня --- еліпс, цілком лежить всередині кола. Побудуємо інше коло цілком лежить усередині еліпса (рис. 3).
Нехай початкова точка лежить усередині.
Розглянемо функцію двох змінних. Легко бачити, що якщо замість підставити рішення системи (??), то отримана таким чином, функція від представлятиме собою повну похідну функції вздовж траєкторії рішення системи (??). Якщо ця похідна уздовж будь-якої траєкторії, що починається в, непозитивно, то це буде означати, що траєкторія не зможе покинути, так як інакше між і значенням, при якому вона потрапить на кордон, знайдеться значення, для якого, оскільки. Те, що ні одна траєкторія, що починається в, не залишає ні при одному коло, означає стійкість тривіального рішення.
Отже, ми повинні перевірити знак вздовж траєкторії. Для ц...
