Реферат
Тема:
В«Вчення про паралельність. Відкриття неевклідової геометрії В»
Введення
Евклід - Старогрецький математик, автор перших дійшли до нас теоретичних трактатів з математики. Біографічні відомості про життя та діяльність Евкліда вкрай обмежені. Відомо, що він родом з Афін, був учнем Платона. Наукова діяльність його протікала в Александрії, де він створив математичну школу.
Досягнення в математиці
Головні праці Евкліда В«ПочаткиВ» (латинізоване назв. - В«ЕлементиВ») містить виклад планіметрії, стереометрії і ряду питань теорії чисел, алгебри, загальної теорії відносин і методу визначення площ і об'ємів, що включає елементи меж (Метод вичерпування). У В«ПочаткахВ» Евклід підсумував усі попередні досягнення грецької математики і створив фундамент для її подальшого розвитку. Історичне значення В«НачалВ» Евкліда полягає в тому, що в них вперше зроблена спроба логічного побудови геометрії на основі аксіоматики. Основним недоліком аксіоматики Евкліда слід вважати її неповноту; немає аксіом безперервності, руху та порядку, тому Евклідом часто доводилося апелювати до інтуїції, довіряти оці. Книги XIV і XV є більш пізніми додаваннями, але чи є перші тринадцять книг створенням однієї людини або школи, керованої Евклід, не відомо. З 1482 р. В«НачалаВ» Евкліда витримали понад 500 изд. на всіх мовах світу.
Перші чотири книги В«НачалВ» присвячені геометрії на площині, і в них вивчаються основні властивості прямолінійних фігур і окружностей.
Книзі I предпославши визначення понять, які використовуються в подальшому. Вони носять інтуїтивний характер, оскільки визначені в термінах фізичної реальності: В«Точка Тобто те, що не має частин В». В«Лінія ж - довжина без шириниВ». В«Пряма лінія є та, яка однаково розташована стосовно точок на ній В». В«Поверхность Тобто те, що має тільки довжину і ширину В»і т.д.
За цими визначеннями йдуть п'ять постулатів: В«Допустимо:
1) що від усякої точки до всякої точки можна провести пряму лінію;
2) і що обмежену пряму можна безперервно продовжити по прямій;
3) і що з усякого центра і всяким розчином може бути описаний коло;
4) і що всі прямі кути рівні між собою;
5) і якщо пряма, падаюча на дві прямі, утворює внутрішні і по одну сторону кути, менше двох прямих, то продовжені необмежено ці дві прямі зустрінуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих В».
Три Перший постулат забезпечують існування прямої та кола. П'ятий, так званий постулат про паралельні - найзнаменитіший. Він нарочито чужорідний, його громіздка формулювання закономірно викликає деяке почуття протесту і бажання відшукати для нього доказ, він завжди інтригував математиків, які намагалися вивести його з чотирьох попередніх або взагалі відкинути. Такі докази вже в давнину намагалися побудувати Птолемей і Прокл; а в Новий час з цих спроб розвинулася неевклідова геометрія. Слід зазначити, що перші 28 теорем I книги відносяться до абсолютної геометрії і в XIX в. виявилося, що можна побудувати інші, неевклидова геометрії і що п'ятий постулат має право на існування.
Початки Евкліда
Почала - головна праця Евкліда, написаний близько 300 р. до н.е. і присвячений систематичному побудови геометрії. Почала - вершина античної геометрії і античної математики взагалі, підсумок її 300-річного розвитку та основа для подальших досліджень.
Прокл повідомляє, що подібні твори створювалися і до Евкліда: Почала були написані Гіппократа Хиосськом, а також платониками Леонтьєв і Февда. Але ці твори, по-видимому, були втрачені ще в античності.
Текст Почав впродовж століть були предметом дискусій, до них написано численні коментарі. З античних коментарів до нас дійшов коментар, написаний Проклом. Цей текст є найважливішим джерелом з історії та методології грецької математики. Прокл дає короткий виклад історії грецької математики (Т. зв. Евдем каталог геометрів), обговорює взаємозв'язок методу Евкліда і логіки Аристотеля, роль уяви в доказах.
З древніх коментаторів слід згадати Паппа, з нових - П'єра Рамуса, Федеріго Коммандіно, Христофа Шлюссель (Клавіуса) і Савилов.
Почала справили величезний вплив на розвиток математики аж до Новітнього часу. Книга перекладена на багато мов світу. Так, на китайській мові перші 6 книг Почав видав Маттео Річчі під час своєї місії в Китаї (1583-1610). За кількістю перевидань Почала не мають собі рівних серед світських книг.
Альберт Ейнштейн так оцінював Почала : В«Це найдивовижніше твір думки дало людському розуму ту упевненість в собі, яка була необхідна для його подальшої діяльності. Той не народжений для теоретичних досліджень, хто в молодості не захоплювався цим творінням В».
У Початках викладаються планіметрія, стереометрія, арифметика, відносини по Евдоксу. У класичній реконструкції Гейберга весь праця складається з 13 книг. До них традиційно приєднують дві книги про п'ять правильних многогранниках, приписувані Гіпсіклу Александрійському і школі Ісидора Мілетського.
Виклад в Початках ведеться строго дедуктивно. Кожна книга починається з визначень. У першій книзі за визначеннями йдуть аксіоми і постулати. Потім слідують пропозиції, які діляться на завдання (в яких потрібно щось побудувати) і теореми (в яких потрібно щось довести). Визначення, аксіоми, постулати та пропозиції пронумеровані, напр., I def. 2 - друге визначення першої книги.
Перша книга
1. Перша книга починається визначеннями, з яких перші сім (I def. 1-7) свідчать: Крапка є те, що не має частин.
2. Лінія - довжина без ширини.
3. Краї ж лінії - точки.
4. Пряма лінія є та, яка однаково лежить на всіх своїх точках.
5. Поверхня є те, що має тільки довжину і ширину.
6. Краї ж поверхні - лінії.
7. Плоска поверхня є та, яка однаково лежить на всіх своїх лініях.
Коментатори епохи Відродження вважали за краще говорити, що точка є місце без протягу. Сучасні автори, навпаки, визнають неможливість визначення основних понять, і Давид Гільберт починає В«Підстави геометріїВ» так:
Ми мислимо три різні системи речей: речі першої системи ми називаємо точками й позначаємо
За визначеннями Евклід приводить постулати (I post. 1-5):
1. Від усякої точки до всякої точки можна провести пряму.
2. Обмежену пряму можна безперервно продовжувати по прямій.
3. З усякого центра всяким розчином може бути описаний коло.
4. Усі прямі кути рівні між собою.
5. Якщо пряма, яка перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, менші двох прямих, то, продовжені необмежено, ці дві прямі зустрінуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих.
За постулатами слідують аксіоми (I ax. 1-9), які мають характер загальних тверджень, що відносяться в рівній мірі як до чисел, так і до безперервним величинам:
1. Рівні тому ж рівні і між собою.
2. І якщо до рівних додаються рівні, то і цілі будуть рівні.
3. І якщо від рівних віднімаються рівні, то залишки будуть рівні.
4. (І якщо до нерівних додаються рівні, то цілі будуть не рівні.)
5. (І подвоєні одного і того ж рівні між собою.)
6. (І половини одного і того ж рівні між собою.)
7. І суміщають один із одним рівні між собою.
8. І ціле більше частини.
9. (І дві прямі не містять простору.)
Аксіома паралельності Евкліда
Аксіома паралельності Евкліда , або п'ятий постулат - одна з аксіом, що лежать в підставі класичної планіметрії. Вперше наведена в В«ПочаткахВ» Евкліда:
Евклід розрізняє поняття ...
