Введення
Більшість чисельних методів розв'язання задач математичного аналізу так чи інакше пов'язане з апроксимацією функцій. Це і власне завдання наближення функцій (інтерполяція, згладжування, найкращі наближення) і завдання, в яких апроксимація присутній як проміжний етап дослідження (Чисельне диференціювання та інтегрування, чисельне рішення диференціальних та інтегральних рівнянь).
Типовою задачею наближення є задача інтерполяції: по заданій таблиці чисел, відновити функцію з тією або іншою точністю на відрізку [а, b] дійсній осі. Класичний метод її рішення полягає в побудові інтерполяційного многочлена Лагранжа, визначуваного рівністю
Хоча згідно теоремі Вейерштрасса всяка неперервна функція на відрізку може бути як завгодно добре наближена многочленами, практичні можливості застосування многочленів Лагранжа обмежені. Перш за все, використовуючи подібний апарат, ми повинні бути впевнені, що, вибравши досить велика кількість вузлів інтерполяції, отримаємо хороше наближення інтерпольованої функції. Однак, як показує ряд простих прикладів, це часто не можна гарантувати.
С. Н. Бернштейном (1916 р.) було встановлено, що послідовність інтерполяційних многочленів Лагранжа побудованих для безперервної функцііна відрізку [-1, 1] по рівновіддалених вузлів, зі зростанням не прагне до. Ще більш цікавий інший приклад, висхідний до Рунге (1901 р.) і складається в тому, що зазначений інтерполяційний процес не сходиться на [-1, 1] навіть для гладкої як завгодно раз диференціюється (рис. 0.1). В обох випадках
Іноді ці труднощі вдається подолати шляхом спеціального вибору вузлів інтерполяції або за рахунок переходу до яких-небудь узагальненим многочленів. Однак такий шлях, як правило, вельми ускладнює обчислення і до того ж не рятує нас від другої проблеми - швидкого накопичення помилок округлення із зростанням ступеня многочлена. Тому на практиці для того, щоб досить добре наблизити функцію, замість побудови інтерполяційного многочлена високого ступеня використовують інтерполяцію кусково многочленами.
Прикладом такого роду є кусочно-лінійна інтерполяція. У загальному випадку відрізок точками розбивається на частини і на кожному проміжку, будується свій інтерполяційний многочлен. Отримані таким чином багаточлени (звичайно однієї і тій же мірі) дають інтерполяцію функції на всьому відрізку, яка, взагалі кажучи, не забезпечує гладкого переходу від однієї ланки до іншого і може бути навіть розривною, якщо точки не включаються в число вузлів інтерполяції. Це допустимо, якщо не потрібно відновлювати функцію із заданим ступенем гладкості. Зокрема, різні таблиці складаються з таким кроком, щоб проміжні значення функції з прийнятою точністю можна було вирахувати за допомогою лінійної або квадратичної інтерполяції. Для гладкого відновлення таблично заданої функції потрібно збільшити ступінь складових многочленів, а залишаються вільними коефіцієнти визначати з умов гладкого сполучення многочленів на сусідніх проміжках. Виходять при цьому гладкі кусково-багаточленні функції з однорідною структурою (складені з многочленів однієї і тієї ж ступеня) називаються сплайн-функціями або просто сплайнами. Найпростіший і історично найстаріший приклад сплайна - ламана.
Термін сплайн походить від англійського spline, що в перекладі означає рейка, стрижень - назва пристосування, яке застосовували креслярі для проведення гладких кривих через задані точки. Візьмемо гнучку сталеву лінійку, поставимо її на ребро і, закріпивши один кінець в заданій точці, помістимо між опорами, які розташовуються так, щоб лінійка проходила через задані точки (рис, 0.2).
Згідно закону Бернуллі-Ейлера лінеаризовані диференціальне рівняння вигнутої осі лінійки має вигляд
де - друга похідна прогину, - згинальний момент, змінюваний лінійно від однієї точки опори до іншої, - жорсткість. Проінтегрувавши це рівняння, отримаємо, що функція, що описує профіль лінійки, є кубічним многочленом між двома сусідніми точками опори і двічі безперервно диференціюється функцією на всьому проміжку інтегрування. Для визначеності задачі на кінцях повинні бути задані крайові умови, в Зокрема, за відсутності зовнішніх навантажень па лінійку.
Функція являє собою інший приклад (тепер уже гладкого) сплайна. Вона відноситься до інтерполяційним кубічним сплайнів, що володіє рядом чудових властивостей, які і забезпечили їм успіх в додатках.
На відміну від інтерполяційних многочленів Лагранжа, послідовність інтерполяційних кубічних сплайнів на рівномірній сітці вузлів завжди сходиться до інтерпольованої безперервної функції, причому збіжність підвищується з поліпшенням диференціальних властивостей функції. Так, для функції з прикладу Рунге кубічний сплайн на сітці з числом вузлів дає похибку того ж порядку, що і многочлен, але для вона настільки мала, що в масштабах рис. 0.1 не може бути показана (СР з многочленом).
Алгоритми побудови кубічних сплайнів є досить простими і ефективно реалізуються на ЕОМ, причому вплив помилок округлення при обчисленнях виявляється незначним.
Метою даної роботи є вивчення сплайнів, зокрема базисних сплайнів. Також ми складемо програму для роботи зі сплайнами.
В§ 1. Визначення сплайнів. Простір сплайнів
Нехай на відрізку [a, b] задано розбиття Для цілого через позначимо безліч разів безперервно диференційовних на функцій, а через-безліч кусково-неперервних функцій з точками розриву першого роду.
Визначення. Функція називається сплайном ступеня дефекту (- ціле число,) з вузлами на сітці, якщо
а) на кожному відрізку функція є многочленом ступеня, тобто
(1)
б).
Визначення сплайна має сенс на всій речовій осі, якщо покласти
При цьому на півосі береться тільки формула (2), а на півосі тільки формула (1).
Отже, сплайн має безперервні похідні до порядку. Похідні сплайна порядки вище, взагалі кажучи, терплять розриви в точках. Для визначеності будемо вважати, що функція, неперервна справа, тобто
Безліч сплайнів, що задовольняють визначенням, позначимо через Ясно, що цій безлічі належать і сплайни ступеня n дефекту і сплайни ступеня дефекту, якщо, в тому числі багаточлени ступеня не вище. Так як звичайні операції додавання елементів з і їх множення на дійсні числа не виводять за межі множини, то воно є лінійним безліччю або лінійним простором.
Найпростішим прикладом сплайна є одинична функція Хевісайда
з якою природним чином пов'язана усічена степенева функція
Функції є сплайнами відповідно нульової ступеня і ступеня дефекту 1 з єдиним вузлом в нульовій точці (рис. 1.1). Ми будемо розглядати також усічені статечні функції, пов'язані з точками сітки. При вони належать безлічі
Теорема 1.1. Функції
(3)
лінійно незалежні і утворюють базис в просторі розмірності
Доказ: Припустимо гидке, тобто що існують постійні, не всі рівні нулю і такі, що
Тоді для маємо і в силу лінійної незалежності функцій знаходимо Беручи отримуємо і, по тій же причини, Продовжуючи цей процес, переконуємося, що всі Отже, функції (3) лінійно незалежні.
Нехай тепер задано сплайн на відрізку він є многочленом ступеня, та може бути записаний у вигляді (1) або (2). При цьому, оскільки перші похідних сплайна безперервні в точках т. тобто
Покажемо, що сплайн, на відрізку може бути представлений у вигляді
(4)
Де
Дійсно, перетворюючи це вираз при отримуємо
Це доводить, що всякий сплайн може бути представлений у вигляді лінійної комбінації функцій (3), тобто ці функції утворюють базис в і уявлення (4) єдино. Ця формула ...
