Контрольна робота № 2
ВАРІАНТ 2.3
№ 1. Записати загальне рівняння прямої, що переходить через точку М (-2, 4) перпендикулярно прямій x +2 y +5 = 0. Знайти площу трикутника, утвореного даної прямої з осями координат.
Запишемо рівняння прямої у вигляді:
.
Коефіцієнт К знайдемо з умови перпендикулярності прямих:
Отримаємо рівняння прямої:
Зробимо креслення
Відповідь:
№ 2. Записати загальне рівняння прямої, що проходить точку М (-2, 2) і отсекающей від першого координатного кута трикутник площею S = 4,5 кв.ед.
Зробимо схематичний креслення
Площа трикутника дорівнює.
Координати точок А і В знайдемо з рівняння прямої, яке запишемо у вигляді
З рівняння
Отримаємо пряму з кутовим коефіцієнтом
Значення відповідає прямій, яка відсікає трикутник площею S = 4,5 від третьої координатного кута ..
№ 3. Дано вершини трикутника А (2,1,0), В (3, -1,1) і С (1,2, -4). Записати загальне рівняння площини, що проходить через сторону АВ перпендикулярно площині трикутника АВС.
Загальне рівняння має вигляд:
Для знаходження A, B, C і D необхідно скласти три рівняння.
Два рівняння отримаємо з умови, що шукана площина проходить через точки А і В. Третє - з умови, що шукана площина перпендикулярна площині, що проходить через три точки А, В і С. умова перпендикулярності площин:
Знайдемо рівняння площини, що проходить через точки А, В, С за формулою:
Розкладемо визначник за першому рядку, підготувавши числові значення:
Отримаємо рівняння площини:
Запишемо умова перпендикулярності площин:
Умова, що шукана площина:
через точку А:;
через точку В:.
Отримаємо систему рівнянь:
Складаємо 2-е і 3-є рівняння:, 1-е рівняння множимо на 2 і віднімаємо з отриманого:
З 1-го рівняння:.
З 3-го рівняння:. Приймаємо, отримуємо
.
Рівняння площини має вигляд:
№ 4. Знайти відстань від точки до прямої.
Відстань r знайдемо за формулою відстані від точки до прямої, заданої рівнянням в канонічній формі:
№ 5. Знайти довжину відрізка, що відсікається від осі ординат площиною, яка проходить через точку перпендикулярно вектору, де В - точка перетину медіан трикутника, вершини якого збігаються з точками перетину осей координат з площиною
Для знаходження рішення знайдемо рівняння площини, яка проходить через точку А в заданому напрямку і підставимо в це рівняння значення.
Для цього спочатку знайдемо координати точки В.
Точку перетину заданої площини з віссю ОХ знайдемо з рівняння:
з віссю OY:
з віссю OZ:
Отримаємо трикутник з вершинами:.
Знайдемо координати середини сторони за формулою:
.
- середина сторони.
Тепер знайдемо точку В, використовуючи властивість: медіани трикутника діляться в точці перетину у відношенні 2:1, рахуючи від вершини. Використовуємо формулу:
Точка перетину медіан має координати.
Знайдемо координати вектора.
Рівняння шуканої площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору має вид:
№ 6. Дві прямі паралельні площині. Перша пряма проходить через точку та перетинає вісь абсцис, друга - через точку і перетинає вісь ординат. Знайти косинус гострого кута між напрямними векторами цих прямих.
Для знаходження напрямних векторів прямих використовуємо умову паралельності прямої і площини
і умова, що пряма проходить через вісь абсцис, тобто виконується співвідношення в точці (x, 0,0).
підставляємо з 1-го рівняння в друге, отримаємо
Вважаємо тоді.
Отримали спрямовує вектор першої прямої (6, -2, -3).
Аналогічно для другої прямої (вона проходить через точку (0, y, 0)
З другого рівняння
Косинус знайдемо за формулою:
№ 7. Знайти координати центру кола радіусом 5, що стосується прямий в точці М (2,0), якщо відомо, що точка С розташована в першій чверті.
Переформулюємо задачу:
Знайти точку, що лежить на прямій, перпендикулярній прямій, що проходить через точку М (2,0) і відстоїть від неї на 5 од.
Запишемо рівняння прямої у вигляді, коефіцієнт k знайдемо з умови перпендикулярності прямих
Отримуємо рівняння прямої
Використовуємо формулу відстані між двома точками:
За умовою друге рішення не походить, тому x <0.
№ 8. Дана крива
8.1. Довести, що ця крива - гіпербола.
- це канонічне рівняння гіперболи. Наведемо вихідне рівняння до цього виду
Це канонічне рівняння гіперболи.
8.2 Знайти координати її центру симетрії.
Зробимо схематичний креслення:
Центр симетрії гіперболи в точці.
.
8.3. Знайти дійсну і уявну півосі.
8.4. Записати рівняння фокальній осі.
Фокальна вісь проходить через фокус, р-фокальний параметр (половина хорди, проведеної через фокус перпендикулярно дійсній осі).
Рівняння, де
8.5. Побудувати дану гіперболу побудова проведено в п.8.2.
№ 9. Дана крива.
9.1. Довести, що дана крива - парабола.
Канонічне рівняння параболи, задане рівняння приведемо до цьому виду
отже, маємо параболу.
9.2. Знайти координати її вершини.
Якщо рівняння параболи записано у вигляді, координати вершини.
9.3. Знайти значення її параметра р.
З рівняння - видно, що.
9.4. Записати рівняння її осі симетрії.
Дана вісь проходить через вершину параболи перпендикулярно осі ОХ, її рівняння.
9.5. Побудувати дану параболу.
Всі параметри відомі. Знайдемо перетин з віссю OY.
№ 10. Дана крива.
10.1. Довести, що ця крива - еліпс.
Канонічне рівняння еліпса
Загальне рівняння кривої другого порядку:
.
Перепишемо задане рівняння:
Введемо позначення:
Якщо маємо еліпс. Проводимо обчислення при a = 8, b = 6, c = 17, d = -14, l = -23, f = -43.
отже, вихідна крива - еліпс.
10.2. Знайти координати центра його симетрії.
Застосуємо формулу:
10.3. Знайти його велику і малу півосі.
Для цього наведемо рівняння до канонічного виду, обчислимо:
Рівняння запишемо у вигляді:
де
Отримаємо рівняння еліпса в нових координатах, де осями координат є осі, отримані перенесенням початку координат в центр еліпса і поворотом осей на кут О±, який визначається рівнянням, при цьому кутовий коефіцієнт нової осі
10.4. Записати загальне рівняння фокальній осі.
Фокальна вісь проходить через фокус перпендикулярно осі. У нових координатах.
Скористаємося формулою перетворення координат:
Залишилося скласти рівняння прямої, що проходить через точку з коефіцієнтом нахилу 2. Загальний вигляд такої прямої, отримаємо:
10.5. Побудувати дану криву.
Для цього в старій системі координат будуємо нову систему. Нові осі спрямовані по прямим - y = 2x-1 і . Далі, визначимо вершини еліпса.
У нових координатах вони рівні.
У старих:
