Практична робота
На тему: В«Обчислення найбільшого, найменшого значення функції в обмеженій області В»
Мета
1. Ознайомлення і придбання навичок обчислення найбільшого, найбільшого значення функції в обмеженій області.
Основні питання:
1.Наібольшее і найменше значення функції.
2.Ограніченность область.
3.Равномерно безперервна функція.
Якщо функція f (x, y, ...) визначена і неперервна в замкненій і обмеженій області D, то в цій області знайдеться, принаймні, одна точка
N (x 0 , y 0 , ...), така, що для решти точок вірно нерівність
f (x 0 , y 0 , ...) Ві f (x, y, ...) </p>
а також точка N 1 (x 01 , y 01 , ...), така, що для всіх інших точок вірно нерівність
f (x 01 , y 01 , ...) ВЈ f (x, y, ...)
тоді f (x 0 , y 0 , ...) = M - найбільшу значення функції, а f (x 01 , y 01 , ...) = m - найменше значення функції f (x, y, ...) в області D.
Безперервна функція у замкненій та обмеженій області D досягає по Принаймні один раз найбільшого значення і один раз найменшого.
Властивість. Якщо функція f (x, y, ...) визначена і неперервна в замкненій обмеженій області D, а M і m - відповідно найбільше і найменше значення функції в цій області, то для будь-якої точки m ГЋ [m, M] існує точка
N 0 (x 0 , y 0 , ...) така, що f (x 0 , y 0 , ...) = m.
Простіше кажучи, безперервна функція приймає в області D всі проміжні значення між M і m. Наслідком цієї властивості може служити висновок, що якщо числа M та m різних знаків, то в області D функція принаймні один раз звертається в нуль.
Властивість. Функція f (x, y, ...), безперервна в замкнутій обмеженій області D, обмежена в цій області, якщо існує таке число К, що для всіх точок області вірно нерівність
Властивість. Якщо функція f (x, y, ...) визначена і неперервна в замкненій обмеженій області D, то вона рівномірно неперервна в цій області, тобто для будь-якого позитивного числа e існує таке число D> 0, що для будь-яких двох точок (х 1 , y 1 ) і (х 2 , у 2 ) області, що знаходяться на відстані, меншій D, виконано нерівність
Точки, в яких функція приймає найбільше або найменше значення в обмеженій замкнутій області, називають також точками абсолютного або глобального екстремуму. Якщо найбільше або найменше значення досягаються у внутрішніх точках області, то це точки локального екстремуму функції z = f (x, y). Таким чином точки, в яких функція приймає найбільше або найменше значення є або локальними екстремумами, або граничними точками області. Отже, щоб знайти найбільше і найменше значення функції z = f (x, y) в обмеженій замкнутої області D, слід обчислити значення функції в критичних точках області D, а також найбільше і найменше значення функції на кордоні. Якщо межа задана рівнянням П† (x, y) = 0, то задача відшукання найбільшого і найменшого значень функції на кордоні області D зводиться до відшукання найбільшого і найменшого значень (абсолютного екстремуму) функції однієї змінної, так як рівняння границі області D - П† (X, y) = 0 пов'язує змінні x і y між собою. Значить, якщо дозволити рівняння П† (x, y) = 0 відносно однієї з змінних або параметричні рівняння границі області D і підставити їх в рівняння z = f (x, y), то прийдемо до задачі знаходження найбільшого і найменшого значень функції однієї змінної. Якщо рівняння П† (X, y) = 0 неможливо розв'язати відносно однієї із змінних або неможливо знайти параметричне завдання кордону, то задача зводиться до відшукання умовного екстремуму.
Правило знаходження найбільшого і найменшого значень дифференцируемой в області D функції z = Ж’ (х; у) складається в наступному:
1. Знайти усі критичні точки функції, що належать D, і обчислити значення функції в них;
2. Знайти найбільше і найменше значення функції z = Ж’ (х; у) на кордонах області;
3. Порівняти всі знайдені значення функції і вибрати з них найбільше М і найменше.
Завдання:
1. Знайти найбільше і найменше значення функції z = х 2 у + ху 2 + ху в замкнутій області, обмеженою лініями: у = 1 / x , х = 1, х = 2, у = -1,5
Рішення: Тут z ' x = 2ху + у 2 + у, z ' y = х 2 +2 ху + х.
Знаходимо всі критичні точки:
Рішенням системи є точки (0; 0), (-1; 0), (0; -1), (-1/3; -1/3). Жодна зі знайдених точок не належить області D.
2 . Досліджуємо функцію z на кордоні області, що складається з ділянок АВ, ВС, РЄ та ЕА
На ділянці АВ:
Значення функції z (-1) = -1,
На ділянці ВС:
Значення функції z (1) = 3, z (2) = 3,5.
На ділянці РЄ:
z ' y = 4у +6, 4У +6 = 0, у = -3/2.
Значення функції
На ділянці АЕ:
Значення функції z (1) = -3/4, z (2) = -4,5.
3 . Знайти найбільшу M і найменше m значення функції z = 4x2-2xy + y2-8x в замкнутій області D , обмеженої: x = 0, y = 0, 4x +3 y = 12 .
Рішення
1. Побудуємо область D (Рис. 1.5) на площині Оху .
Кутові точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0).
Кордон Г області D складається з трьох частин:
Приклади:
1. Знайти найбільше і найменше значення функції z = х 2 у + ху 2 + ху в замкнутої області, обмеженої лініями: х = 1 , х = 2 , у = 1,5
2. Знайти найбільше і найменше значення функції z = 2 x 3 - 6 xy + 3 y 2 в замкнутій області D, обмеженою віссю OY, прямий y = 2 і параболою y = x 2 при x ≥ 0 .
3. Знайти найбільше M і найменше m значення функції z = 4x2-2xy + y2-8x в замкнутій області D, обмеженою: x = 0, y = 0, 4x +3 y = 12.
4. Знайти найбільше і найменше значення функції z = х 2 у + ху 2 + ху в замкнутій області, обмеженої лініями: у = 1 / x , х = 1, х = 2, у = -1,5
5. Знайти найбільше і найменше значення функції в трикутнику, обмеженому прямими, , .
