Обчислення визначеного інтеграла
Єкатеринбург
2006
Обчислення визначеного інтеграла
Введення
Задача чисельного інтегрування функцій полягає в обчисленні наближеного значення визначеного інтеграла:
, (1)
на основі ряду значень підінтегральна функція. {f (x) | x = x k = f (x k ) = y k }.
Формули чисельного обчислення однократного інтеграла називаються квадратурні формули, подвійного і більше кратного - кубатурних.
Звичайний прийом побудови квадратурних формул складається в заміні підінтегральна функція f (x) на відрізку [a, b] інтерполюється або апроксимуючої функцією g (x) порівняно простого виду, наприклад, поліномом, з подальшим аналітичним інтегруванням. Це призводить до подання
У нехтуванні залишковим членом R [f] отримуємо наближену формулу
.
Позначимо через y i = f (x i ) значення підінтегральної функції в різних точках на [a, b]. Квадратурні формули є формулами замкнутого типу, якщо x 0 = a, x n = b.
В якості наближеної функції g (x) розглянемо інтерполяційний поліном на у формі полінома Лагранжа:
,
де
, при цьому, де - залишковий член інтерполяційної формули Лагранжа.
Формула (1) дає
, (2)
де
. (3)
У формулі (2) величини {} називаються вузлами, {} - Вагами, - похибкою квадратурної формули. Якщо ваги {} квадратурної формули обчислені за формулою (3), то відповідну квадратурну формулу називають квадратурної формулою інтерполяційного типу.
Підіб'ємо підсумок.
1. Ваги {} квадратурної формули (2) при заданому розташуванні вузлів не залежать від виду подинтегральних функції.
2. У квадратурних формулах інтерполяційного типу залишковий член R n [f] може бути представлений у вигляді значення конкретного диференціального оператора на функції f (x). Для
.
3. Для поліномів до порядку n включно квадратурна формула (2) точна, тобто . Найвищий ступінь полінома, для якого квадратурна формула точна, називається ступенем квадратурної формули.
Розглянемо окремі випадки формул (2) і (3): метод прямокутників, трапецій, парабол (метод Сімпсона). Назви цих методів обумовлені геометричною інтерпретацією відповідних формул.
Метод прямокутників
Визначений інтеграл функції від функції f (x): чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої кривими y = 0, x = a, x = b, y = f (x) (рісунок. 1).
Рис. 1 Площа під кривою y = f (x)
Для обчислення цієї площі весь інтервал інтегрування [a, b] розбивається на n рівних подінтервалов довжини h = (ba)/ n. Площа під подинтегральних кривої наближено замінюється на суму площ прямокутників, як це показано на малюнку (2).
Рис. 2 Площа під кривою y = f (x) апроксимується сумою площ прямокутників
Сума площ всіх прямокутників обчислюється за формулою
(4)
Метод, представлений формулою (4), називається методом лівих прямокутників, а метод, представлений формулою (5) - методом правих прямокутників:
(5)
Похибка обчислення інтеграла визначається величиною кроку інтегрування h. Чим менше крок інтегрування, тим точніше інтегральна сума S апроксимує значення інтеграла I. Виходячи з цього будується алгоритм для обчислення інтеграла із заданою точністю. Вважається, що інтегральна сума S представляє значення інтеграла I c точністю eps, якщо різниця по абсолютній величині між інтегральними сумами і, обчисленими з кроком h і h/2 відповідно, не перевищує eps.
Метод середніх прямокутників
Для знаходження визначеного інтеграла методом середніх прямокутників площа, обмежена прямими a і b, розбивається на n прямокутників з підставами h, висотами прямокутників будуть точки перетину функції f (x) з серединами прямокутників (h/2). Інтеграл буде чисельно дорівнює сумі площ n прямокутників (малюнок 3).
Рис. 3 Площа під кривою y = f (x) апроксимується сумою площ прямокутників
,
n - кількість розбиттів відрізка [a, b].
Метод трапецій
Для знаходження певного інтеграла методом трапецій площа криволінійної трапеції також розбивається на n прямокутних трапецій з висотами h і підставами у 1 , у 2 , у 3 , .. у n , де n - номер прямокутної трапеції. Інтеграл буде чисельно дорівнює сумі площ прямокутних трапецій (малюнок 4).
Рис. 4 Площа під кривою y = f (x) апроксимується сумою площ прямокутних трапецій.
n - кількість розбиттів
(6)
Похибка формули трапецій оцінюється числом
Похибка формули трапецій із зростанням зменшується швидше, ніж похибка формули прямокутників. Отже, формула трапецій дозволяє отримати більшу точність, ніж метод прямокутників.
Формула Сімпсона
Якщо для кожної пари відрізків побудувати многочлен другого ступеня, потім проінтегрувати його на відрізку і скористатися властивість адитивності інтеграла, то отримаємо формулу Сімпсона.
У методі Сімпсона для обчислення визначеного інтеграла весь інтервал інтегрування [a, b] розбивається на подінтервали рівної довжини h = (ba)/n. Число відрізків розбиття є парним числом. Потім на кожній парі сусідніх подінтервалов підінтегральна функція f (x) замінюється многочленом Лагранжа другого ступеня (малюнок 5).
Рис. 5 Функція y = f (x) на відрізку замінюється многочленом 2-го порядку
Розглянемо подинтегральную функцію на відрізку. Замінимо цю подинтегральную функцію інтерполяційним многочленом Лагранжа другого ступеня, що збігається з y = в точках:
Проинтегрируем на відрізку.:
Введемо заміну змінних:
Враховуючи формули заміни,
Виконавши інтегрування, отримаємо формулу Сімпсона:
Отримане для інтеграла значення збігається з площею криволінійної трапеції, обмеженою віссю, прямими, і параболою, що проходить через точки На відрізку формула Сімпсона буде мати вигляд:
У формулі параболи значення функції f (x) в непарних точках розбиття х 1 , х 3 , ..., х 2 n -1 має коефіцієнт 4, в парних точках х 2 , х 4 , ..., х 2 n -2 - коефіцієнт 2 і в двох граничних точках х 0 = а, х n = b - коефіцієнт 1.
Геометричний зміст формули Сімпсона: площа криволінійної трапеції під графіком функції f (x) на відрізку [a, b] наближено замінюється сумою площ фігур, що лежать під параболами.
Якщо функція f (x) має на [a, b] неперервну похідну четвертого порядку, то абсолютна величина похибки формули Сімпсона не більше ніж
де М - найбільшу значення на відрізку [a, b]. Так як n 4 росте швидше, ніж n 2 , то похибка формули Сімпсона з ростом n зменшується значно швидше, ніж похибка формули трапецій.
Приклад
Обчислимо інтеграл
Цей інтеграл легко обчислюється:
Візьмемо n рівним 10, h = 0.1, розрахуємо значення підінтегральна функція в точках розбиття, а також напівцілим точках.
За формулою середніх прямокутників отримаємо I прям = 0.785606 (Похибка дорівнює 0.027%), за формулою трапецій I трап = 0.784981 (Похибка близько 0,054. При використанні методу правих і лівих прямокутників похибка становить більше 3%.
Для порівняння точності наближених формул обчислимо ще раз інтеграл
,
але тепер за формулою Сімпсона при n ...
