Зміст
Введення
Тема 1. Рішення задач обчислювальними методами. Основні поняття
1.1 Похибка
1.2 Коректність
1.3 Обчислювальні методи
Тема 2. Рішення нелінійних рівнянь
2.1 Постановка завдання
2.2 Основні етапи відшукання рішення
2.3 Метод поділу відрізка навпіл (метод дихотомії, метод бисекции)
2.4 Метод простих ітерацій
2.5 Метод Ньютона (метод дотичних)
2.6 Метод січних (метод хорд)
2.7 Метод хибного положення
Тема 3. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь
3.1 Постановка завдання
3.2 Метод виключення Гауса. Схема єдиного ділення
3.3 Метод виключення Гауса з вибором головного елемента по стовпцю
3.4 Обчислення визначника методом виключення Гауса
3.5 Обчислення оберненої матриці методом виключення Гауса
3.6 Метод простої ітерації Якобі
3.7 Метод Зейделя
Тема 4. Наближення функцій
4.1 Постановка завдання
4.2 Наближення функції многочленами Тейлора
4.3 Інтерполяція функції многочленами Лагранжа
4.4 Апроксимація функцій. Метод найменших квадратів
Тема 5. Чисельне інтегрування функцій однієї змінної
5.1 Постановка задачі чисельного інтегрування
5.2 Метод середніх прямокутників
5.3 Метод трапецій
5.4 Метод Сімпсона (метод парабол)
5.5 Правило Рунге практичної оцінки пох
ибки
Тема 6. Чисельне рішення диференціальних рівнянь
6.1 Постановка задачі Коші
6.2 Метод Ейлера
6.3 Модифіковані методи Ейлера
6.4 Метод Рунге - Кутта
Контрольні завдання з курсу "Обчислювальні методи"
Вказівки до виконання лабораторних робіт
Вказівки до виконання курсових робіт
Короткі відомості про математиків
Список літератури
Введення
Дослідження різних явищ або процесів математичними методами здійснюється з допомогою математичної моделі. Математична модель являє собою формалізований опис на мові математики досліджуваного об'єкта. Таким формалізованим описом може бути система лінійних, нелінійних або диференціальних рівнянь, система нерівностей, визначений інтеграл, многочлен з невідомими коефіцієнтами і т. д. Математична модель повинна охоплювати найважливіші характеристики досліджуваного об'єкта і відображати зв'язки між ними.
Після того, як математична модель складена, переходять до постановці обчислювальної завдання. При цьому встановлюють, які характеристики математичної моделі є вихідними (вхідними) даними, які - параметрами моделі, а які - вихідними даними . Проводиться аналіз отриманої задачі з точки зору існування та єдиності розв'язку.
На наступному етапі вибирається метод рішення задачі. У багатьох конкретних випадках знайти рішення задачі в явному вигляді не представляється можливим, так як воно не виражається через елементарні функції. Такі завдання можна вирішити лише наближено. Під обчислювальними (чисельними) методами подразумеваются наближені процедури, що дозволяють отримувати рішення у вигляді конкретних числових значень. Обчислювальні методи, як правило, реалізуються на ЕОМ. Для вирішення однієї і тієї ж задачі можуть бути використані різні обчислювальні методи, тому потрібно вміти оцінювати якість різних методів і ефективність їх застосування для даної задачі.
Потім для реалізації обраного обчислювального методу складається алгоритм і програма для ЕОМ. Сучасному інженерові важливо вміти перетворити задачу до виду, зручного для реалізації на ЕОМ і побудувати алгоритм вирішення такого завдання.
В даний час на ринку програмного забезпечення широко представлені як пакети, реалізують найбільш загальні методи вирішення широкого кола завдань (наприклад, Maple, Mathcad, MatLAB), так і пакети, що реалізують методи вирішення спеціальних завдань (наприклад, завдань газової динаміки).
Результати розрахунку аналізуються й інтерпретуються. При необхідності коректуються параметри методу, а іноді математична модель, і починається новий цикл рішення задачі.
Тема 1. Рішення задач обчислювальними методами.
Основні поняття
1.1 Похибка
Існують чотири джерела похибок, які виникають в результаті чисельного рішення завдання.
1. Математична модель. Похибка математичної моделі пов'язана з її наближеним описом реального об'єкта. Наприклад, якщо при моделюванні економічної системи не враховувати інфляцію, а вважати ціни постійними, важко розраховувати на достовірність результатів. Похибка математичної моделі називається неусувною. Будемо надалі припускати, що математична модель фіксована і її похибка враховувати не будемо.
2. Вихідні дані. Вихідні дані, як правило, містять похибки, так як вони або неточно виміряні, або є результатом вирішення деяких допоміжних задач. Наприклад, маса снаряда, продуктивність обладнання, передбачувана ціна товару та ін У багатьох фізичних і технічних завданнях похибка вимірювань становить 1 - 10%. Похибка вихідних даних так само, як і похибка математичної моделі, вважається неусувною і надалі враховуватися не буде.
3. Метод обчислень. Вживані для вирішення завдання методи як правило є наближеними. Наприклад, замінюють інтеграл сумою, функцію - многочленом, похідну - різницею і т. д. Похибка методу необхідно визначати для конкретного методу. Зазвичай її можна оцінити і проконтролювати. Слід вибирати похибка методу так, щоб вона була не більше, ніж на порядок менше неусувною похибки. Велика похибка знижує точність рішення, а менша вимагає значного збільшення обсягу обчислень.
4. Округлення в обчисленнях. Похибка округлення виникає через те, що обчислення виробляються з кінцевим числом значущих цифр (для ЕОМ це 10 - 12 знаків). Округлення виробляють за наступним правилом: якщо в старшому з відкинутих розрядів стоїть цифра менше п'яти, то вміст зберігаються розрядів не змінюється, в іншому випадку в молодший зберігається розряд додається одиниця з тим же знаком, що і у самого числа. При вирішенні великих завдань виробляються мільярди обчислень, але так як похибки мають різні знаки, то вони частково взаімокомпенсіруются.
Розрізняють абсолютну і відносну похибки. Нехай а - точне, взагалі кажучи невідоме числове значення деякої величини, а а * - відоме наближене значення цієї величини, тоді величину
D ( а * ) = | А - а * |
називають абсолютною похибкою числа а * , а величину
d ( а * ) =
- його відносною похибкою.
При додаванні і відніманні складаються абсолютні похибки, а при діленні та множенні - відносні похибки.
1.2 Коректність
Визначимо спочатку поняття стійкості рішення.
Рішення завдання y * називається стійким за вихідними даними x * , якщо воно залежить від вихідних даних безперервним чином. Це означає, що малому зміні вихідних даних відповідає мале зміна рішення. Строго кажучи, для будь-якого e > 0 існує d = d ( e )> 0 таке, що всякому вихідного даного x * , що задовольняє умові | x - x * | < d , відповідає наближене рішення y * , для якого | y - y * | < e .
Кажуть, що задача поставлена ​​ коректно , якщо виконані такі три умови:
