Контрольна робота
З дисципліни:
В«Вища математикаВ»
Тема:
В«Довжина дуги кривої в прямокутних координатах В»
1 . Похідна визначеного інтеграла по змінному верхній межі
Сформулюємо наступне властивість певних інтегралів:
Нехай функція неперервна на. Складемо для неї визначений інтеграл. Нехай для визначеності на всьому відрізку. Тоді з геометричної точки зору складений інтеграл не що інше, як площа криволінійної трапеції з основою, яка обмежена лінією.
Якщо в розглянутому інтегралі замінити змінну інтегрування на , То величина його, очевидно, не зміниться. Тому надалі для зручності будемо вважати, що площа трапеції визначається інтегралом.
Величина визначеного інтеграла залежить від значень верхньої і нижньої меж інтегрування, то Тобто від довжини підстави криволінійної трапеції. Розглянемо тому тепер випадок, коли нижня межа інтеграла фіксований і дорівнює, а верхній може змінюватися, приймаючи значення, де. У цьому випадку певний інтеграл буде відповідати площі криволінійної трапеції, величина якої змінюється. Залежати ця площа буде від значення, тобто. Якщо буде мінятися безупинно, то і площа трапеції буде мінятися безупинно, тобто - неперервна функція, яку можна диференціювати.
Теорема. Похідна визначеного інтеграла по змінному верхній межі дорівнює подинтегральних функції, у якої змінна інтегрування замінена цим верхньою межею, то Тобто або .
Для обчислення похідної проробимо всі стандартні операції. Задамо прирощення аргументу:, що, в свою чергу, приведе до збільшенню функції:. Так як, а, то приріст функції визначається виразом:
.
Застосуємо до отриманого висловом теорему про середнє в певному інтегралі:
, де.
Складемо відношення. Щоб отримати похідну, перейдемо в складеному відношенні до межі:. Так як, то при прагненні точка буде прагнути до. Отже, обчислення межі призведе до виразу:.
З доведеної теореми випливає, що - це первообразная від, отже, визначений інтеграл також є первообразной від, і обчислювати його, очевидно, необхідно за допомогою тих же прийомів, що і невизначений інтеграл.
2 . Формула Ньютона-Лейбніца
Обчислення визначеного інтеграла як межі інтегральної суми являє собою досить складну задачу і може бути виконано лише в деяких найбільш простих випадках. Однак отримана в п. 1 зв'язок між визначеним інтегралом і первообразной дозволяє отримати простий метод для обчислення цих інтегралів.
Теорема. Якщо яка-небудь первообразная від неперервної функції, то справедлива формула: .
У попередньому пункті було показано, що - це первообразная від функції. Але як було показано при вивченні невизначеного інтеграла, будь-яка безперервна функція має нескінченну безліч первісних, що відрізняються один від одного на постійний доданок. Тому, якщо якась інша первообразная від тієї ж функції, то.
Виявляється, що в разі визначеного інтеграла постійну можна обчислити. Дійсно, так як може приймати будь-які значення між і (п. 1), то нехай. Тоді:. Але певний інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, отже,. Значить,
.
Покладемо тепер, що, тоді
.
Отримане вираз називається формулою Ньютона - Лейбніца. Інша форма запису цього виразу наступна:
.
Зазвичай в отриманих виразах змінна інтегрування позначається буквою.
Таким чином, щоб обчислити визначений інтеграл, необхідно знайти будь-яку первісну від і обчислити різницю її значень у верхній і нижній межах інтегрування. Отримана проста формула дозволяє легко знаходити вирішення багатьох математичних і прикладних задач, пов'язаних з обчисленням визначеного інтеграла.
3 . Заміна змінної у визначеному інтегралі
При вивченні невизначеного інтеграла було показано (п. 5.4), що одним з найбільш часто зустрічаються методів його обчислення є заміна змінних. Так як обчислення певного інтеграла, згідно з формулою Ньютона - Лейбніца, також пов'язане із знаходженням первообразной, то метод заміни змінної застосовний і в ньому, однак при цьому є деякі особливості. У невизначеному інтегралі заміна змінної приводила в кінці обчислень до зворотної заміні, в визначеному ж, виявляється, можна обійтися без цього.
Теорема. Якщо в визначеному інтегралі, де неперервна на, зробити заміну змінної і при цьому:
1),;
2) і безупинні на;
3) неперервна на і при зміні від до не виходить за межі відрізка,
то .
Нехай - якась первообразная від, тоді. Відповідно до формули Ньютона - Лейбніца, отримаємо відповідний визначений інтеграл:. Але, як було показано в п. 5.4, в невизначеному інтегралі можна зробити заміну змінної, тоді. У цьому випадку відповідний визначений інтеграл буде мати вигляд:
.
В обох певних інтегралів праві частини дорівнюють, отже, рівні і ліві частини:
,
що й потрібно довести.
З доведеної теореми випливає, що при заміні змінної у визначеному інтегралі повинні помінятися межі інтегрування, і зворотна заміна тут вже не потрібна, так як і при старої і при новій змінної у відповіді виходить одне і те ж число.
4 . Інтегрування по частинам у визначеному інтегралі
Нехай дано функції і, які безупинні зі своїми похідними на. Складемо їх твір і продиференціюємо його:
.
Візьмемо від обох частин отриманого рівності визначені інтеграли:
.
Але,,. Отже,, звідки:. Так само як і в невизначеному інтегралі, дана формула вимагає правильного вибору множників і.
5 . Довжина дуги кривої в прямокутних координатах
При обчисленні довжини кривої лінії може бути використана та ж методика, що і при обчисленні площ криволінійних трапецій, тобто криву розбивають на такі малі ділянки, довжину яких можна порахувати геометричними методами.
Визначення. Довжиною дуги кривої лінії називають межа, до якої прагне довжина вписаною в неї ламаної лінії при необмеженому збільшенні числа її ланок і при прагненні довжини найбільшого ланки до нуля .
Отже, нехай крива лінія описується функцією на відрізку. При цьому нехай неперервна на цьому відрізку разом зі своєю похідною. Розіб'ємо криву на часткових дуг точками. Поєднавши початок і кінець кожної часткової дуги хордою, одержимо в результаті вписану ламану лінію, довжина якої дорівнює сумі довжин її ланок:
.
Позначимо:,, ...,, ...,. Крім того,,, ...,, ...,. У такому випадку можна розглядати як гіпотенузу прямокутного трикутника і тому
.
Згідно з теоремою Лагранжа про середню
, де,
отже,
.
Звідси довжина ламаної лінії дорівнює
.
Переходячи до межі в даної інтегральної сумі, коли число ланок ламаної прагне до нескінченності, а довжина найбільшого ланки прагне до нуля, отримуємо довжину кривої лінії в прямокутній системі координат:
.
Даний інтеграл існує, оскільки за умовою похідна неперервна.
З отриманої формули можна отримати вираз для диференціала дуги, яке використовується як в математиці, так і в деяких завданнях теоретичної механіки. Нехай положення правого кінця кривої лінії є змінною величиною, тоді її довжина буде функцією точки, в якій вона закінчується, тобто
.
Візьмемо похідну даного інтеграла по змінному верхній межі (п. 1.):
.
Звідси випливає, що
.
6 . Довжина дуги кривої при її параметричному завданні
Розглянемо тепер випадок, коли крива, довжину якої необхідно обчислити, задана параметрично...
