Векторна алгебра
Вектор в декартовій системі координат
Визначення. Вектором називається впорядкована пара точок (початок вектора і його кінець). Якщо ,, То вектор має координати.
Вектор в координатному просторі Oxyz, може бути представлений у вигляді
, де трійка називається координатами вектора. Вектори - одиничні вектори (орти), спрямовані в позитивну сторону координатних осей Ox, Oy і Oz, відповідно. Довжиною (Модулем) вектора називається число.
Лінійні операції з векторами
Додавання векторів визначається за правилом паралелограма: вектор є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і (рис.1а).
Різниця двох векторів і визначається за формулою, де - вектор тієї ж довжини, що і вектор, але протилежно спрямований. Щоб знайти вектор-різниця потрібно відкласти вектори і із загальної точки, з'єднати кінці векторів вектором, спрямованим від В«від'ємникаВ» до В«ЗменшуєтьсяВ» (тобто від к) (рис.1б). Побудований вектор і буде шуканої різницею.
При додаванні декількох векторів кожна координата суми є сума відповідних координат доданків векторів, при множенні вектора на дане число на це ж число множаться і координати вектора:
а);
б), де - скалярний множник.
Кілька векторів називаються колінеарними (компланарними), якщо вони паралельні одній і тієї ж прямої (площини). Вектори і паралельні (колінеарні), то є відповідні координати цих векторів пропорційні з одним і тим же коефіцієнтом пропорційності:.
Базис на площині і в просторі
Визначення. Базисом на площині (у просторі) називається впорядкована пара (трійка) неколінеарних (Некомпланарних) векторів. Будь вектор однозначним чином розкладається по базису. Коефіцієнти розкладання називаються координатами цього вектора щодо даного базису. Вектори утворюють базис в декартовому координатному просторі Oxyz.
Приклад 1.
Дано вектори . Показати, що вектори і утворюють базис на площині і знайти координати вектора в цьому базисі.
Рішення. Якщо два вектори неколінеарних (), то вони утворюють базис на площині. Так як, то вектори і неколінеарних і, значить, утворюють базис. Нехай в цьому базисі вектор має координати, тоді розкладання вектора по векторах і має вигляд , Або в координатній формі
або
Вирішивши отриману систему рівнянь яким-небудь чином, отримаємо, що.
Значить. Таким чином, в базисі вектор має координати.
Скалярний, векторне, змішане твір векторів.
Визначення. Скалярним твором двох векторів і називається число, яке визначається рівністю:
,
де - кут між векторами і . Якщо, то.
Знаючи скалярний добуток, можна визначити кут між двома векторами за формулою: .
Умова перпендикулярності ненульових векторів (кут між ними дорівнює 90 В°) має вигляд:, або, а умова їх колінеарності:, або.
Властивості скалярного добутку:
1); 2); 3); 4), причому.
Приклад 2. Знайти кут між векторами і, якщо,,,.
Рішення. Використовуємо формулу. Визначимо координати векторів і, враховуючи, що при додаванні векторів ми складаємо однойменні координати, а при множенні вектора на число - Множимо на це число кожну координату цього вектора, а:,.
Знайдемо скалярний добуток векторів і і їх довжини. ,,. Підставивши у формулу, отримаємо. Звідси.
Визначення. Векторним твором вектора на вектор називається вектор (інше позначення ), Який:
а) має довжину, де - кут між векторами і;
б) перпендикулярний векторах і () (Тобто, перпендикулярний площині, в якій лежать вектори і);
в) спрямований так, що вектори,, утворюють праву трійку векторів, тобто з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого до другого видний проти годинникової стрілки (рис.2).
Координати векторного добутку вектора на вектор визначаються за формулою:
Геометричний сенс векторного добутку: модуль вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і.
Властивості векторного добутку:
1); 2);
3); 4) та колінеарні.
Приклад 3. Паралелограм побудований на векторах і, де,,. Обчислити довжину діагоналей цього паралелограма, кут між діагоналями і площа паралелограма.
Рішення.
,,
.
Кут між діагоналями позначимо літерою, тоді
Отже, .
Використовуючи властивості векторного добутку, обчислимо площу паралелограма:
Визначення. Змішаним твором трьох векторів,, називається скалярний добуток вектора на вектор:
.
Якщо то змішане твір можна обчислити за формулою:
.
Властивості змішаного твори:
1) При перестановці будь-яких двох векторів змішане твір змінює знак;
2); 3);
4) компланарність.
Геометричний сенс змішаного твори: обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах, , (Рис.4), а обсяг утвореної ними трикутної піраміди знаходяться за формулами.
Приклад 4. Компланарних Чи вектори, ,?
Рішення. Якщо вектори компланарність, то по властивості 4) їх змішане твір дорівнює нулю. Перевіримо це. Знайдемо змішане твір даних векторів, обчисливши визначник:
вектори,, некомпланарних.
Ділення відрізка в даному відношенні.
Нехай відрізок в просторі Oxyz заданий точками і. Якщо він розділений точкою у відношенні, то координати точки наступні:
.
Приклад 5. Знайти точку, що ділить відрізок у відношенні, якщо.
Рішення. Визначимо координати точки:
. Таким чином, .
Аналітична геометрія.
Рівняння площині. Загальне рівняння площини має вигляд:,, де - нормальний вектор площини (тобто перпендикулярний площині), а коефіцієнт пропорційний відстані від початку координат до площини.
Рівняння площині, що проходить через точку перпендикулярно вектору, має вигляд
.
Рівняння площині, що проходить через три задані точки, і має вигляд:
.
Кут між двома площинами, що мають нормальні вектори і, визначається як кут між векторами і за формулою:
.
Відстань від точки до площині обчислюється за формулою.
Приклад 6. Написати рівняння площини, що проходить через точки,,.
Рішення. Скористаємося рівнянням площини, що проходить через три задані точки. Обчислимо визначник
, або - шукане рівняння площини.
Рівняння прямий на площині. Загальне рівняння прямої на площині має вигляд:, де - нормальний вектор прямої (перпендикулярний прямій), а коефіцієнт пропорційний відстані від початку координат до прямої.
Рівняння прямій, що проходить через дану точку, має вигляд
або.
В іншому вигляді, де - Тангенс кута, утвореного прямою і позитивним напрямом осі Ox, званий кутовим коефіцієнтом, b - ордината точки перетину прямій з віссю Oy.
Рівняння прямій, що проходить через дві задані точки і, має вигляд
.
Кут між двома прямими і визначається формулою
.
Відстань від точки до прямий знаходиться за формулою
.
Приклад 7. Дано рівняння двох сторін прямокутника, і рівняння його діагоналі. Скласти рівняння
інших сторін і другий діагоналі цього прямокутника.
Рішення. Зробимо схематичне креслення (Рис.6). Перепишемо дані рівняння у вигляді:,,. Так як кутові коефіцієнти прямих, які задають сторони прямокутника, однакові, то ці р...
