Міністерство освіти
Російської Федерації
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УНІВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ ТА РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ (ТУСУР)
Контрольна робота
2003
1 (Т85.РП). Знайдіть матрицю D = (AC-AB), якщо
А = 1 0, C = 3 4 4, B = -3 1 4.
2 -2 1 -3 5 2 -3 4
(У відповідь ввести другий рядок матриці D.)
Рішення:
Розміри матриць А і С узгоджені, тому що число елементів в рядку матриці А дорівнює числу елементів в стовпці матриці В.
а * з = 1 0 * 3 4 4 = 1 * 3 +0 * 1 1 * 4 +0 * (-3) 1 * 4 +0 * 5 = 3 4 4
2 -2 1 -3 5 2 * 3 + (-2) * 1 2 * 4-2 * (-3) 2 * 4-2 * 5 4 14 -2
А * В = 1 0 * -3 1 4 = 1 * (-3) +0 * 2 1 * 1 +0 * (-3) 1 * 4 +0 * 4 = -3 1 4
2 -2 2 -3 4 2 * (-3) -2 * 2 2 * 1-2 * (-3) 2 * 4-2 * 4 -10 8 0
D = А * С-А * В = 3 4 4 _ -3 1 4 = 3 - (-3) 4-1 4-4 = 6 3 0
4 14 -2 -10 8 0 4
- (-10) 14-8 -2-0 14 6 -2
Відповідь: 14, 6, -2.
2 (3те). Обчисліть визначник D = 2 2 1 0
1 1 1 0
1 2 2 1
0 3 2 2
Рішення:
2 2 1 0
1 1 1 0
1 2 2 1 =
0 3 2 2
Помножимо третій рядок на (-2) і складемо з четвертої рядком, результат запишемо
в четвертий рядок:
2 2 1 0
1 1 1 0
= 1 2 2 1 =
-2 -1 -2 0
Даний визначник розкладемо за елементами четвертого стовпця :
3 +4 2 2 1
= 1 * (-1) * 1 1 1 =
-2 -1 -2
Помножимо другий рядок на (-2) і складемо з першою, результат запишемо в перший рядок. Помножимо другий рядок на 2 і складемо з третьою, результат запишемо в третій рядок.
0 0 -1
= - 1 1 1 = - (-1) 1 +3 * (-1) * 1 1 = 1-0 = 1;
0 1 0 0 1
Відповідь: D = 1.
3 (598.Р7). Вирішіть матричне рівняння
1 2 1 1 1 -1
X * 4 3 -2 = 16 * -1 2 3
-5 -4 -1 0 -1 -2.
Рішення:
A * X = B, X = A -1 * B
Знайдемо det A:
1 2 1
det A = 4 3 -2 = 1 * 3 * (-1) +1 * 4 * (-4) +2 * (-2) * (-5) -1 * 3 * (-5) -2 * 4 * (-1) -1 * (-2) * (-4) =
-5 -4 -1
= -19 +20 +15-8 +8 = 16;
det = 16 в‰ 0;
Складемо матрицю А -1 , зворотну матриці А:
А 1 1 = 3 -2 = -3 -8 = -11
-4 -1
А 1 2 = - 4 -2 = - (-4-10) = 14
-5 -1
А 1 3 = 4 3 = -16 +15 = -1
-5 -4
A 2 1 = - 2 1 = - (-2 +4) = -2
-4 -1
A 2 2 = 1 1 = -1 +5 = 4
-5 -1
A 2 3 = - 1 2 = - (-4 +10) = -6
-5 -4
A 3 1 = 2 1 = - 4-3 = -7
3 -2
A 3 2 = - 1 1 = - (-2-4) = 6
-2
A 3 3 = 1 2 = 3 -8 = -5
4 Березня
-11/16 -2/16 -7/16
А -1 = 14/16 4/16 6/16
-1/16 -6/16 -5/16
-11/16 -2/16 -7/16 1 * 16 1 * 16 -1 * 16
Х = 14/16 4/16 6/16 * -1 * 16 2 * 16 3 * 16 =
-1/16 -6/16 -5/16 0 * 16 -1 * 16 2 * 16
-11 * 1 + (-2 * (-1)) + (-7 * 0) -11 * 1 + (-2 * 2) + (-7 * (-1)) -11 * (-1) + (-2 * 3) + (-7 * 2)
= 14 * 1 +4 * (-1) +6 * 0 14 * 1 +4 * 2 +6 * (-1) 14 * (-1) +4 * 3 +6 * 2 =
-1 * 1 + (-6 * (-1)) + (-5 * 0) -1 * 1 + (-6 * 2) + (-5 * (-1)) -1 * (-1) + (-6 * 3) + (-5 * 2)
-9 -8 -9
= 16 жовтня 10
5 -8 -27
Відповідь: Х =: -9, -8, -9: 10, 16, 10: 5, -8, -27.
4 (4П5). При якому значенні параметра p, якщо він існує,
1 2 -2 1
останній рядок матриці А = 2 -3 3 лютого є лінійною комбінацією перших
1 -1 1 2
8 -7 p 11
трьох рядків?
Рішення:
Обчислимо det A:
2 січня -2 1 1 2 -2 1 -7 7 0 -7 7 0
det A = 2 -3 3 2 = 0 -7 7 0 = 3 -3 -1 = 3 -3 -1 =
1 -1 2 Січень 0 3 -3 -1 23-16-p -3 14-7-p 0
8 -7 p 11 0 23-16-p -3
-1 * (-1) 2 +3 * -7 7 = 49 + 7p - 98 = 7p - 49
14-7-p
Якщо det A = 0, то ранг матриці А дорівнює двом, тобто 7p - 49 = 0, p = 7.
Третій рядок по теоремі про базисному мінорі є комбінацією перших двох.
Позначимо коефіцієнти цієї комбінації через О» 1 і О» 2 , О» 3 , тоді (8, -7,7,11) = О» 1 (1,2, -2, 1) + + О› 2 (2, -3,3,2) + О» 3 (1, -1,1,2);
Маємо систему: О» 1 + 2О» 2 + О› 3 = 8 * 2
2О» 1 - 3О» 2 - О» 3 = -7
-2О» 1 + 3О» 2 + О» 3 = 7
О» 1 + 2О» 2 + 2О» 3 = 11
Вирішимо дану систему методом Гауса:
О» 1 + 2О» 2 + О» 3 = 8 1) О» 3 = 3
7О» 2 + 3О» 3 = 23 2) 7О» 2 + 9 = 23
7О» 2 + 3О» 3 = 23 7О» 2 = 14
О» 3 = 3 О» 2 = 2
3) О» 1 + 2 * 2 + 3 = 8
О» 1 = 1
коефіцієнти лінійних комбінацій О» 1 = 1; О» 2 = 2; О» 3 = 3;
Відповідь: (8, -7,7,11) = 1 (1,2, -2,1) + 2 (2, -3,3,2) + 3 (1, -1,1,2 ) .
5. Щодо канонічного базису в R 3 дані чотири вектора f 1 (1,1,1), f 2 (1,2,3) , F 3 (1,3,6), x (4,7,10). Доведіть, що вектори f 1 , f 2 , f 3 можна прийняти за новий базис в R 3 . (ТР0.РП). Знайдіть координати вектора x в базисі f i .
Складемо визначник з компонент векторів і f 1 , f 2 , f 3 обчислимо його:
1 1 1 1 1 1
О” = 1 2 3 = 0 1 2 = 1 * (-1) 1 +1 * 1 2 = 5 - 4 = 1
1 3 6 0 2 5 2 5
Так як О” в‰ 0, то вектори f 1 , f 2 , f 3 утворюють базис тривимірного простору R 3
Для обчислення координат вектора x в цьому базисі складемо систему лінійних рівнянь:
х 1 + х 2 + х 3 = 4 * (-1)
х 1 + 2х 2 + 3х 3 = 7
х 1 + 3х 2 + 6х 3 = 10
х 1 + х 2 + х 3 = 4
х 2 + 2х 3 = 3 * (-2)
2х 2 + 5х 3 = 6
х 1 + х 2 + х 3 = 4 1) х 3 = 0 3) х 1 + 3 + 0 = 4
х 2 + 2х 3 = 3 2) х 2 + 0 = 3 х 1 = 4 - 3
<...