Реферат
Метою даної курсової роботи є вивчення особливих властивостей Гамма-функції Ейлера. У ході роботи була вивчена Гамма-функція, її основні властивості та складено алгоритм обчислення з різним ступенем точності. Алгоритм був написаний на мові високого рівня - Сі. Результат роботи програми звірений з табличним. Розбіжностей у значеннях виявлено не було.
Пояснювальна записка до курсовій роботі виконана в обсязі 36 аркушів. Вона містить таблицю значень гамма-функції при деяких значеннях змінних і тексти програм для обчислення значень Гамма-функції і для побудови графіка, а також 2 малюнки.
Для написання курсової роботи було використано 7 джерел.
Введення
Виділяють особливий клас функцій, представимих у вигляді собственого або невласного інтеграла, який залежить не тільки від формальної змінної, а й від параметра.
Такі функції називаються інтегралами залежними від параметра. До їх числа відносяться гамма і бета функції Ейлера.
Бета функції представимо інтегралом Ейлера першого роду:
Гамма функція представляється інтегралом Ейлера другого роду:
Гамма-функція належить до числа самих простих і значущих спеціальних функцій, знання властивостей якої необхідно для вивчення багатьох інших спеціальних функцій, наприклад, циліндричних, гіпергеометричних та інших.
Завдяки її запровадженню значно розширюються наші можливості при обчисленні інтегралів. Навіть у випадках, коли кінцева формула не містить інших функцій, крім елементарних, отримання її все ж часто полегшує використання функції Г, хоча б в проміжних викладках.
Ейлерови інтеграли являють собою добре вивчені неелементарні функції. Завдання вважається вирішеною, якщо вона наводиться до обчислення ейлерова інтегралів.
1. Бета-функци я Ейлера
Бета - функції визначаються інтегралом Ейлера першого роду:
= (1.1)
Він представляє функцію від двох змінних параметрів і: функцію B . Якщо ці параметри задовольняють умовам і, то інтеграл (1.1) буде невласним інтегралом, залежних від параметрів і , Причому особливими точками цього інтеграла будуть точки і
Інтеграл (1.1) сходяться при. Вважаючи отримаємо:
= - =
т.e. аргумент і входять в симетрично. Беручи до увагу тотожність
за формулою інтегрування почестям маємо
Звідки отримуємо
=
(1.2)
При цілому b = n послідовно застосовуючи (1.2)
Отримаємо
(1.3)
при цілих = m, = n, маємо
але B (1,1) = 1, отже:
Покладемо в (1.1). Так як графік функції симетрична відносно прямий, то
і в результаті підстановки, отримуємо
вважаючи в (1.1), звідки, отримаємо
(1.4)
розділяючи інтеграл на два в межах від 0 до 1 і від 1 до і застосування до другого інтегралу підстановки, одержимо
2. Гамма-функція
2.1 Визначення
Окличний знак в математичних працях зазвичай означає взяття факторіала якогось цілого невід'ємне числа:
n! = 1.2.3 В· ... В· n.
Функцію факторіал можна ще записати у вигляді рекурсіонного співвідношення:
(n +1)! = (N +1) В· n!.
Це співвідношення можна розглядати не тільки при цілих значеннях n.
Розглянемо різницеве ​​рівняння
G (z +1) = zG (z).
(2.1)
Незважаючи на просту форму записи, в елементарних функціях це рівняння не вирішується. Його рішення називається гамма-функцією. Гамма-функцію можна записати у вигляді ряду або у вигляді інтеграла. Для вивчення глобальних властивостей гамма-функції зазвичай користуються інтегральним поданням.
2.2 Інтегральне уявлення
Перейдемо до вирішення цього рівняння. Будемо шукати рішення у вигляді інтеграла Лапласа:
У цьому випадку права частина рівняння (2.1) може бути записана у вигляді:
Ця формула справедлива, якщо існують межі для внеінтегрального члена. Заздалегідь нам не відомо поведінку образу [(G) tilde] (p) при p В® В± ВҐ. Припустимо, що образ гамма-функції такий, що внеінтегральное доданок дорівнює нулю. Після того, як буде знайдено рішення, треба буде перевірити, чи вірно припущення про внеінтегральном доданку, інакше доведеться шукати G (z) якось по-іншому.
Ліва частина рівності (2.1) записується таким чином:
Тоді рівняння (2.1) для образу гамма-функції має вигляд:
Це рівняння легко вирішити:
(2.2)
Неважко помітити, що знайдена функція [(Г) tilde] (p) насправді така, що внеінтегральний член у формулі (2.2) дорівнює нулю.
Знаючи образ гамма-функції, легко отримати і вираз для прообразу:
Це неканонічна формула, для того, щоб привести її до вигляду, отриманому Ейлером, треба зробити заміну змінної інтегрування: t = exp (-p), тоді інтеграл прийме вигляд:
Постійна C вибирається так, щоб при цілих значеннях z гамма-функція збігалася з функцією факторіал: Г (n +1) = N!, Тоді:
отже C = 1. Остаточно, одержуємо формулу Ейлера для гамма-функції:
(2.3)
Ця функція дуже часто зустрічається в математичних текстах. При роботі зі спеціальними функціями, мабуть, навіть частіше, ніж знак оклику.
Перевірити, що функція, визначена формулою (2.3), дійсно задовольняє рівнянню (2.1), можна, проінтегрувавши інтеграл в правій частині цієї формули по частинах:
2.3 Область визначення і полюси
В підінтегральна функція інтеграла (2.3) при експонента exp (-tz ) при R ( z )> 0 убуває набагато швидше, ніж зростає алгебраїчна функція t (z-1) . Особливість в нулі - інтегрована, тому невласний інтеграл в (2.3) сходиться абсолютно і рівномірно при R (z)> 0. Більш того, послідовним диференціюванням по параметру z легко переконатися, що Г ( z ) - голоморфних функцій при R ( z )> 0. Однак, непридатність інтегрального представлення (2.3) при R ( z ) 0 не означає, що там не визначена сама гамма-функція - рішення рівняння (2.1).
Розглянемо поведінку Г (z) в околі нуля. Для цього представимо:
де - голоморфних функцій в околиці z = 0 . З формули (2.1) випливає:
Тоді
тобто Г (z) має полюс першого порядку при z = 0.
Також легко отримати:
тобто в околиці точки функція Г ( z ) також має полюс першого порядку.
Таким же чином можна отримати формулу:
(2.4)
З цієї формули випливає, що точки z = 0, -1, -2, ... - Прості полюси гамма-функції та інших полюсів на речовій осі ця функція не має. Неважко обчислити вирахування в точці z =-n, n = 0,1,2, ...:
2.4 Подання Ганкеля через інтеграл по петлі
З'ясуємо, чи має гамма-функція нулі. Для цього розглянемо функцію
Полюси цієї функції і є нулі функції Г (z).
Різницеве рівняння для I ( z ) легко отримати, скориставшись виразом для Г ( z ):
Вираз для вирішення цього рівняння у вигляді інтеграла можна отримати так само, як було отримано інтегральне вираження для гамма-функції - через перетворення Лапласа. Нижче наведені вичісленія.ні такі ж, як і в п.1). ії пЃ‡ теграла будуть точки ____________________________________________________________________________
або
Після поділу змінних отримаємо:
Проінтегрувавши отримуємо:
або
Перехід до прообразу Лапласа дає:
...
