МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
"Гомельський державний університет імені Франциска Скорини "
математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Курсова робота
"Відносини еквівалентності і толерантності і їх властивості"
Гомель 2005
Введення
У повсякденній промові ми часто говоримо про однаковості (про рівність) якихось об'єктів (предметів, множин, абстрактних категорій), не піклуючись про належному уточненні змісту, який ми вкладаємо в слово "однаковий". У розділі першої спробуємо виявити та розкрити поняття "однаковості", визначимо терміни "еквівалентність" і "відношення еквівалентності".
Не менш важливою є ситуація, коли нам доводиться встановлювати подібність об'єктів. Якщо однаковість об'єктів означає їх взаимозаменимости в деякій ситуації, то схожість - це часткова взаимозаменимости, тобто можливість взаємної заміни з деякими (допустимими в даній ситуації) втратами, з допустимим ризиком. У другому розділі спробуємо розкрити поняття "толерантність" на базі таких термінів, як "однаковість" і "подібність" єктів.
А в третьому розділі докладніше розглянемо застосування понять відносин еквівалентності і толерантності в різних галузях знань і практики людини.
Реферат
Курсова робота містить: 41 сторінка, 3 джерела, 1 додаток.
Ключові слова: відношення еквівалентності, відношення толерантності, однаковість, схожість, взаимозаменимости, класи еквівалентності, простір толерантності, класи толерантності, предкласс, базис.
Об'єкт дослідження: відносини еквівалентності і толерантності.
Предмет дослідження: властивості відносин еквівалентності і толерантності.
Мета роботи: використовуючи рекомендовану літературу розглянути поняття відносин еквівалентності і толерантності; розглянути додатка цих понять у різних галузях знань і практики людини.
Методи дослідження: методи теорії множин і теорії відносин.
Завданнями курсової роботи є: вивчити властивості відносин еквівалентності і толерантності і їх додатки в конкретних галузях знань.
1. Відношення еквівалентності
1.1 Визначення та приклади
1.1.1 Визначення
Систему непустих підмножин множини ми будемо називати розбиттям цієї множини , якщо
1) і
2) при.
Самі безлічі називаються при цьому класами даного розбиття.
1.1.2 Визначення
Ставлення на безлічі називається еквівалентністю (Або відношенням еквівалентності ), якщо існує розбиття множини таке, що співвідношення виконується тоді і тільки тоді, коли і належать деякому загальному класу даного розбиття.
Нехай - розбиття безлічі. Визначимо, виходячи з цього розбиття, ставлення на:, якщо і належать деякому загальному класу даного розбиття. Очевидно, ставлення є еквівалентністю. Назвемо ставленням еквівалентності, відповідним вихідного розбиттю.
Наприклад, розбиття складається з підмножин множини, що містять рівно по одному елементу. Відповідне відношення еквівалентності є відношення рівності. Нарешті, якщо розбиття безлічі складається з одного підмножини, збігається з самим, то відповідне відношення еквівалентності є повне відношення: будь-які два елемента є еквівалентними.
Пусте відношення (на непорожня множина!) не є еквівалентністю.
Ми підійшли до еквівалентності через поняття взаимозаменимости. Але що означає, що два об'єкти і взанмозамепіми в даній ситуації? Це завжди можна розуміти так, що кожен з них містить всю інформацію про іншому об'єкті, небайдужу в даній ситуації. Це твердження означає тільки те, що взаимозаменимости об'єктів є збіг ознак, суттєвих в даній ситуації.
Наприклад, нехай ми вважаємо однаковими автомобілі, випущені в однієї і тієї ж серії одним і тим же заводом. Тоді, розібравши один примірник "Волги", ми в принципі можемо скласти комплект робочих креслень, який годиться для випуску однотипних "Волг". Проте, вивчивши один примірник "Волги", ми не можемо вгадати забарвлення кузова або характер вм'ятин на бампері у інших односерійні екземплярів.
Коли ми вибираємо з комплекту одну шахову фігуру, то ми знаємо, куди її можна поставити в початковій позиції і як ходять, всі взаємозамінні з ній, тобто однойменні і одноколірні, фігури.
Нехай тепер задано розбиття множини . Виберемо в кожному безлічі деякий міститься в ньому елемент. Цей елемент ми будемо називати еталоном для всякого елемента, що входить в той же безліч. Ми будемо - за визначенням - вважати виконаним співвідношення. Так певний відношення назвемо відношенням " бути еталоном ".
Легко бачити, що еквівалентність, відповідна вихідного розбиттю, може бути визначена так:, якщо і мають загальний еталон: і.
Ясно, що будь-яке відношення еквівалентності може бути таким чином визначено за допомогою відносини "бути еталоном" і, навпаки, будь відношення "бути еталоном" визначає деяку еквівалентність.
Нехай - відношення еквівалентності, а - таке відношення "бути еталоном", що виконано в тому і тільки тому випадку, коли і мають загальний еталон.
Інакше кажучи, рівносильне існуванню такого, що й. Оскільки, це означає, що. Інакше кажучи, еквівалентність можна алгебраїчно виразити через більш просте ставлення "бути еталоном ". Ставлення на безлічі з елементів можна задати графом, що має рівно стрілок, де - число класів еквівалентності: кожен елемент з'єднується зі своїм єдиним еталоном. Граф, що зображає відношення еквівалентності, складається з повних подграфов, містять по, вершин. Таким чином, загальне число ребер у цьому графі одно.
Розглянемо як безліч всіх цілих невід'ємних чисел і візьмемо його розбиття на безліч парних чисел і безліч непарних чисел. Відповідне відношення еквівалентності на безлічі цілих чисел позначається так: і читається: порівнянно з по модулю 2. В якості еталонів тут природно вибрати 0 - для парних чисел і 1 - для непарних чисел. Аналогічно, розбиваючи те ж безліч на підмножин, де складається з усіх чисел, дають при діленні на них та залишок, ми прийдемо до відношення еквівалентності:, яке виконується, якщо і мають однаковий залишок при діленні на. В якості еталона в кожному природно вибрати відповідний залишок.
1.2 Формальні властивості еквівалентності
Ми визначили вище відношенні еквівалентності з допомогою розбиттів, тобто фактично поставили їх деякої конструкцією. Можна було б і по-іншому визначити еквівалентності: можна сформулювати властивості (аксіоми), які виділяють відносини еквівалентності серед інших бінарних відносин.
1.2.1 Визначення
Ставлення на безлічі називається, еквівалентністю (Або відношенням еквівалентності ), якщо воно рефлексивно, симетрично і транзитивне.
Ми зараз дали два незалежних визначення одного і того ж поняття. Тепер нам слід переконатися, що обидва визначення еквівалентпості рівносильні.
Теорема. Якщо відношення на множині рефлексивно, симетрично і транзитивне, то існує розбиття множини таке, що співвідношення виконано в тих і тільки тих випадках, коли і належать загальному класу розбиття.
Зворотно: якщо задано розбиття множини і бінарне відношення визначене як "належати загальному класу розбиття ", то рефлексивно, симетрично і транзитивній.
Доказ першої частини. Розглянемо рефлексивне, симетричне і транзитивне відношення на. Нехай для будь-якого безліч складається з усіх таких елементів, для яких.
Лемма. Для будь-яких та або, або.
Доказ леми. Нехай перетин. Покажемо, що. Нехай, тоді виконано і по самому в...
