Копьевская сільська середня загальноосвітня школа
10 способів вирішення квадратних рівнянь
Автор: Реутова Катерина Вікторівна, 11 кл.
Керівник: Патрікеева Галина Анатоліївна,
вчитель математики
с.Копьево, 2007
Зміст
1. Історія розвитку квадратних рівнянь
1.1 Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні
1.2 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння
1.3 Квадратні рівняння в Індії
1.4 Квадратні рівняння у ал-Хорезмі
1.5 Квадратні рівняння в Європі XIII - XVII вв
1.6 Про теоремі Вієта
2. Способи вирішення квадратних рівнянь
Висновок
Література
1. Історія розвитку квадратних рівнянь
1.1 Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні
Необхідність вирішувати рівняння не тільки першої, але і другої міри ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок та з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н. е.. вавілоняни.
Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:
X 2 + X = Вѕ; X 2 - X = 14,5
-->>
Правило рішення цих рівнянь, викладене у вавілонських текстах, співпадає по суті з сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені.
Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття негативного числа і загальні методи вирішення квадратних рівнянь.
1.2 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння.
У В«АрифметикаВ» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, проте в ній міститься систематизований ряд завдань, супроводжуваних поясненнями і розв'язуваних при допомоги складання рівнянь різних ступенів.
При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.
Ось, наприклад, одна з його завдань.
Задача 11. В«Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а добуток - 96 В»
Діофант розмірковує наступним чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, так як якщо б вони були рівні, то їх добуток дорівнювало б не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто 10 + х , інше ж менше, тобто 10 - х . Різниця між ними 2х .
Звідси рівняння:
(10 + х) (10 - х) = 96
або ж:
100 - х 2 = 96
х 2 - 4 = 0 (1)
Звідси х = 2 . Одне з шуканих чисел одно 12 , інше 8 . Рішення х = -2 для Діофанта не існує, так як грецька математика знала лише позитивні числа.
Якщо ми вирішимо цю задачу, обираючи як невідомого одне з шуканих чисел, то ми прийдемо до рішенням рівняння
в (20 - у) = 96,
у 2 - 20У + 96 = 0. (2)
Ясно, що, вибираючи в як невідомого полуразность шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести завдання до вирішення неповного квадратного рівняння (1).
1.3 Квадратні рівняння в Індії
Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному тракті В«АріабхаттіамВ», складеному в 499 р. індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII в.), виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічній формі:
ах 2 + b х = с, а> 0. (1)
У рівнянні (1) коефіцент, крім а , можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.
У Стародавній Індії були поширені публічні змагання в рішенні важких задач. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: В«Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу іншого в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні задачі В». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.
От одна із задач знаменитого індійського математика XII в. Бхаскара.
Задача 13.
В«мавпочок баских зграя А дванадцять по ліанах ...
Влада поївши, розважалася. Стали стрибати, повисаючи ...
Їх у квадраті частина восьма Скільки ж було мавпочок,
На галявині бавилася. Ти скажи мені, в цій зграї? В»
Рішення Бхаскара свідчить про те, що він знав про двозначності коренів квадратних рівнянь (Рис. 3).
Відповідне завдання 13 рівняння:
( x /8) 2 + 12 = x
Бхаскара пише під виглядом:
х 2 - 64х = -768
і, щоб доповнити ліву частина цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2 , отримуючи потім:
х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,
(х - 32) 2 = 256,
х - 32 = В± 16,
х 1 = 16, х 2 = 48.
1.4 Квадратні рівняння у ал - Хорезмі
У алгебраїчному трактаті ал - Хорезмі дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор нараховує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх наступним чином:
1) В«Квадрати рівні корінням В», тобто ах 2 + з = b х.
2) В«Квадрати рівні числу В», тобто ах 2 = с.
3) В«Коріння дорівнюють числу В», тобто ах = с.
4) В«Квадрати і числа дорівнюють кореням В», тобто ах 2 + з = b х.
5) В«Квадрати і коріння дорівнюють числу В», тобто ах 2 + bx = с.
6) В«Коріння і числа дорівнюють квадратам В», тобто bx + з = ах 2 .
Для ал - Хорезмі, який уникав вживання негативних чисел, члени кожного їх цих рівнянь доданки, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, у яких немає позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал - джабр і ал - мукабала. Його рішення, звичайно, не співпадає повністю з нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичний, слід зазначити, наприклад, що при вирішенні неповного квадратного рівняння першого виду
ал - Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., е враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь ал - Хорезмі на приватних числових прикладах викладає правила рішення, а потім і геометричні докази.
Задача 14. В«Квадрат і число 21 дорівнюють 10 кореням. Знайти корінь В» (мається на увазі корінь рівняння х 2 + 21 = 10х).
Рішення автора говорить приблизно так: роздягнули навпіл число коренів, отримаєш 5, примножиш 5 саме на себе, від твору відбери 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Відніми 2 от5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.
Трактат ал - Хор...