Теми рефератів
Авіація та космонавтика Банківська справа Безпека життєдіяльності Біографії Біологія Біологія і хімія Біржова справа Ботаніка та сільське гос-во Бухгалтерський облік і аудит Військова кафедра Географія
Геодезія Геологія Держава та право Журналістика Видавнича справа та поліграфія Іноземна мова Інформатика Інформатика, програмування Історія Історія техніки Комунікації і зв'язок Краєзнавство та етнографія Короткий зміст творів Кулінарія Культура та мистецтво Культурологія Зарубіжна література Російська мова Маркетинг Математика Медицина, здоров'я Медичні науки Міжнародні відносини Менеджмент Москвоведение Музика Податки, оподаткування Наука і техніка Решта реферати Педагогіка Політологія Право Право, юриспруденція Промисловість, виробництво Психологія Педагогіка Радіоелектроніка Реклама Релігія і міфологія Сексологія Соціологія Будівництво Митна система Технологія Транспорт Фізика Фізкультура і спорт Філософія Фінансові науки Хімія Екологія Економіка Економіко-математичне моделювання Етика Юриспруденція Мовознавство Мовознавство, філологія Контакти
Українські реферати та твори » Математика » 10 способів вирішення квадратних рівнянь

Реферат 10 способів вирішення квадратних рівнянь

Категория: Математика

Копьевская сільська середня загальноосвітня школа

10 способів вирішення квадратних рівнянь

Автор: Реутова Катерина Вікторівна, 11 кл.

Керівник: Патрікеева Галина Анатоліївна,

вчитель математики

с.Копьево, 2007


Зміст

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

1.2 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння

1.3 Квадратні рівняння в Індії

1.4 Квадратні рівняння у ал-Хорезмі

1.5 Квадратні рівняння в Європі XIII - XVII вв

1.6 Про теоремі Вієта

2. Способи вирішення квадратних рівнянь

Висновок

Література


1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

Необхідність вирішувати рівняння не тільки першої, але і другої міри ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок та з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н. е.. вавілоняни.

Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

X 2 + X = Вѕ; X 2 - X = 14,5

-->>

Правило рішення цих рівнянь, викладене у вавілонських текстах, співпадає по суті з сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені.

Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття негативного числа і загальні методи вирішення квадратних рівнянь.

1.2 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння.

У В«АрифметикаВ» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, проте в ній міститься систематизований ряд завдань, супроводжуваних поясненнями і розв'язуваних при допомоги складання рівнянь різних ступенів.

При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Ось, наприклад, одна з його завдань.

Задача 11. В«Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а добуток - 96 В»

Діофант розмірковує наступним чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, так як якщо б вони були рівні, то їх добуток дорівнювало б не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто 10 + х , інше ж менше, тобто 10 - х . Різниця між ними 2х .

Звідси рівняння:

(10 + х) (10 - х) = 96

або ж:

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Звідси х = 2 . Одне з шуканих чисел одно 12 , інше 8 . Рішення х = -2 для Діофанта не існує, так як грецька математика знала лише позитивні числа.

Якщо ми вирішимо цю задачу, обираючи як невідомого одне з шуканих чисел, то ми прийдемо до рішенням рівняння

в (20 - у) = 96,

у 2 - 20У + 96 = 0. (2)


Ясно, що, вибираючи в як невідомого полуразность шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести завдання до вирішення неповного квадратного рівняння (1).

1.3 Квадратні рівняння в Індії

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному тракті В«АріабхаттіамВ», складеному в 499 р. індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII в.), виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічній формі:

ах 2 + b х = с, а> 0. (1)

У рівнянні (1) коефіцент, крім а , можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.

У Стародавній Індії були поширені публічні змагання в рішенні важких задач. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: В«Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу іншого в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні задачі В». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.

От одна із задач знаменитого індійського математика XII в. Бхаскара.

Задача 13.

В«мавпочок баских зграя А дванадцять по ліанах ...

Влада поївши, розважалася. Стали стрибати, повисаючи ...

Їх у квадраті частина восьма Скільки ж було мавпочок,

На галявині бавилася. Ти скажи мені, в цій зграї? В»

Рішення Бхаскара свідчить про те, що він знав про двозначності коренів квадратних рівнянь (Рис. 3).

Відповідне завдання 13 рівняння:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пише під виглядом:

х 2 - 64х = -768

і, щоб доповнити ліву частина цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2 , отримуючи потім:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = В± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратні рівняння у ал - Хорезмі

У алгебраїчному трактаті ал - Хорезмі дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор нараховує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх наступним чином:

1) В«Квадрати рівні корінням В», тобто ах 2 + з = b х.

2) В«Квадрати рівні числу В», тобто ах 2 = с.

3) В«Коріння дорівнюють числу В», тобто ах = с.

4) В«Квадрати і числа дорівнюють кореням В», тобто ах 2 + з = b х.

5) В«Квадрати і коріння дорівнюють числу В», тобто ах 2 + bx = с.

6) В«Коріння і числа дорівнюють квадратам В», тобто bx + з = ах 2 .

Для ал - Хорезмі, який уникав вживання негативних чисел, члени кожного їх цих рівнянь доданки, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, у яких немає позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал - джабр і ал - мукабала. Його рішення, звичайно, не співпадає повністю з нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичний, слід зазначити, наприклад, що при вирішенні неповного квадратного рівняння першого виду

ал - Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., е враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь ал - Хорезмі на приватних числових прикладах викладає правила рішення, а потім і геометричні докази.

Задача 14. В«Квадрат і число 21 дорівнюють 10 кореням. Знайти корінь В» (мається на увазі корінь рівняння х 2 + 21 = 10х).

Рішення автора говорить приблизно так: роздягнули навпіл число коренів, отримаєш 5, примножиш 5 саме на себе, від твору відбери 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Відніми 2 от5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

Трактат ал - Хор...


Страница 1 из 5Следующая страница

Друкувати реферат
Замовити реферат
Реклама
Наверх Зворотнiй зв'язок