Теми рефератів
Авіація та космонавтика Банківська справа Безпека життєдіяльності Біографії Біологія Біологія і хімія Біржова справа Ботаніка та сільське гос-во Бухгалтерський облік і аудит Військова кафедра Географія
Геодезія Геологія Держава та право Журналістика Видавнича справа та поліграфія Іноземна мова Інформатика Інформатика, програмування Історія Історія техніки Комунікації і зв'язок Краєзнавство та етнографія Короткий зміст творів Кулінарія Культура та мистецтво Культурологія Зарубіжна література Російська мова Маркетинг Математика Медицина, здоров'я Медичні науки Міжнародні відносини Менеджмент Москвоведение Музика Податки, оподаткування Наука і техніка Решта реферати Педагогіка Політологія Право Право, юриспруденція Промисловість, виробництво Психологія Педагогіка Радіоелектроніка Реклама Релігія і міфологія Сексологія Соціологія Будівництво Митна система Технологія Транспорт Фізика Фізкультура і спорт Філософія Фінансові науки Хімія Екологія Економіка Економіко-математичне моделювання Етика Юриспруденція Мовознавство Мовознавство, філологія Контакти
Українські реферати та твори » Математика » Історія математичних констант - числа "пі" та "е"

Реферат Історія математичних констант - числа "пі" та "е"

Категория: Математика
Введення

Числа багато тисячоліть тому ввійшли в життя та побут людей. Людина їх використовує не тільки за рахунку та обчисленнях, він придумав різні ігри з числами і шаради. Деякі числа наділив надприродними властивостями, наприклад, такі як 13, 666. Серед нескінченної безлічі дійсних чисел існують ще особливі, і не тільки для математиків, числа p і е . Ці числа мають свої власні позначення, так як їх не можна записати точно з допомогою цифр. Числа 3,14 і 2,7 лише одні з наближених значень чисел ПЂ і тобто Ці числа є ірраціональними і трансцендентними, для їх точного визначення не вистачило б і трильйона десяткових знаків.

"Математиками вивчені послідовності цифр е та p, і з'ясовано, що всі цифри в цьому числі зустрічаються з однаковою частотою ". Ці числа можуть заворожити своєю непокорою, в особливості p. "Цьому числу вдавалося на протязі тисячоліть тримати в полоні думки і почуття не тільки математиків і астрономів, але й філософів і художників ". Витрачалися роки для обчислення декількох десяткових знаків числа p.


Історія числа p

"Письмова історія числа p починається з єгипетського папірусу, датованого приблизно 2000 роком до нашої ери, але воно було відоме ще стародавнім людям. Число p звернуло на себе увагу людей ще в ті часи, коли вони не вміли письмово викладати ні своїх знань, ні своїх переживань, ані своїх спогадів. З тих пір як перші натуральні числа 1,2,3,4, ... стали нерозлучними супутниками людської думки, допомагаючи оцінювати кількості предметів або їх довжини, площі або обсяги, люди познайомилися з числом p. Тоді воно ще не позначалося однією з літер грецького алфавіту і його роль відігравало число 3. Неважко зрозуміти, чому числу p приділяли так багато уваги. Висловлюючи величину відносини між довжиною кола і її діаметром, воно з'явилося у всіх розрахунках пов'язаних з площею кола або довжиною окружності ". Але вже в глибокій старовині математики досить швидко і не без подиву виявили, що число 3 не зовсім точно виражає те, що тепер відомо як число пі. Безумовно, до такого висновку могли прийти тільки після того, як до ряду натуральних чисел додалися дробові або раціональні числа. Так єгиптяни отримали результат: Надалі Архімед, використовуючи метод верхніх і нижніх наближень, отримує наступні кордону числа пі. Індуси в V-VI століттях користувалися числом, китайці - числом

"Позначення числа p походить від грецького слова ("окружність"). Вперше це позначення використовував в 1706 році англійський математик У. Джонс, але загальноприйнятим воно стало після того, як його (починаючи з 1736 року) став систематично вживати Леонард Ейлер ". В кінці 18 століття І. Ламберт і А. Лежандр встановили, що p ірраціональне число, а в 1882 році Ф. Лідерман довів, що воно трансцендентне, тобто не може задовольняти ніякому алгебраическому рівнянню із цілими коефіцієнтами.

Протягом усього існування числа p, аж до наших днів, велася своєрідна "Гонитва" за десятковими знаками числа p. Леонардо Фібоначі близько 1220 року визначив три перші точних десяткових знаків числа p. У 16 столітті Андріан Антоніс визначив 6 таких знаків. Франсуа Вієт (подібно Архімеда), обчислюючи периметри вписаного і описаного 322216-кутників, отримав 9 точних десяткових знаків. Андріан Ван Ромен таким же способом отримав 15 десяткових знаків, обчислюючи периметри 1073741824-косинців. Лудольф Ван Келен, обчислюючи периметри 32512254720-кутників, отримав 20 точних десяткових знаків. Авраам Шарп одержав 72 точних десяткових знаків числа p. У 1844 році З. Дазе обчислює 200 знаків після коми числа p, в 1847 році Т. Клаузен отримує 248 знаків, в1853 Ріхтер обчислює 330 знаків, у тому ж 1853 440 знаків отримує З. Дазе і в цьому ж році У. Шенкс отримує 513 знаків. "З появою ЕОМ кількість вірних знаків десяткових знаків різко зростає:

1949 рік - 2037 десяткових знаків (Джон фон Нейман, ENIAC), 1958 рік - 10000 десяткових знаків (Ф. Женю, IBM-704), 1961 рік - 100000 десяткових знаків (Д. Шенкс, IBM-7090), 1973 рік - 10000000 десяткових знаків (Ж. Гійу, М. Буйе, CDC-7600), 1986 рік - 29360000 десяткових знаків (Д. Бейлі, Cray-2), 1987 рік - 134217000 десяткових знаків (Я. Канада, NEC SX2), 1989 рік - 1011196691 десяткових знаків (Д. Гудновскі і Г. Гудновскі, Cray-2 + IBM-3040) "

При обчисленні вірних десяткових знаків числа p користувалися різними способами, деякі, як і Архімед обчислювали периметри вписаних і описаних n-кутників, але пізніше стали вдаватися до допомоги рядів.

Так Лейбніц обчислював за допомогою ряду:

Шарп застосував ряд:

Л. Ейлер за допомогою ряду:

З. Дазе використовував ряд.

Джон Валліс (1616-1703) знайшов нескінченне твір, за допомогою якого можна обчислити число пі:

Визначення числа p

Теорема: Відношення довжини кола до його діаметру однаково для всіх окружностей.

Доказ.

Позначимо через L - довжину кола, через d - Її діаметр, то формулювання теореми запишеться наступним чином: Розглянемо правильний n -кутник, вписаний в окружність радіуса r зі стороною а n і периметром Р n , то Доведемо, що ставлення однаково для всіх окружностей. Розглянемо дві довільні кола з вписаними в них правильними n -косинцями. З подібності трикутників АОВ і А 1 Про 1 В 1 випливає, що тому окружності брали довільні, то це рівність буде справедливо для всіх окружностей. Отже, для всіх окружностей, отже Це відношення довжини окружності до її діаметра прийнято позначати грецькою буквою "p".

Визначення: Числом p називається відношення довжини окружності до її діаметра.

Історія числа е

Число з'явилося порівняно недавно. Його іноді називають "неперово числом" на честь винахідника логарифмів шотландського математика Джона Непера (1550-1617), проте необгрунтовано, оскільки немає твердих підстав для твердження, що Непер мав про число е чітке уявлення " [10]. Вперше позначення " е " ввів Леонард Ейлер (1707-1783). Він також обчислив точні 23 десяткові знаки цього числа, використавши уявлення числа е у вигляді нескінченного числового ряду: отримане Данилом Бернулі (1700-1782). "У 1873 році Ерміта довів трансцендентність числа е . Л. Ейлер отримав чудовий результат, що зв'язує числа е , p, і:. Йому належить і заслуга визначення функції для комплексних значень z , що поклало початок математичному аналізу в комплексній області - теорії функцій комплексного змінного "[10]. Ейлером були отримані наступні формули: Розглядають логарифми по підставі е , звані натуральними й позначаються Lnx .

Способи визначення

Число e може бути визначено декількома способами.

Через межа:

(другий чудовий межа).

Як сума ряду:

або.

Як єдине число a , для якого виконується

Як єдине позитивне число a , для якого вірно

Властивості

Дане властивість відіграє важливу роль у вирішенні диференціальних рівнянь. Так, наприклад, єдиним рішенням диференціального рівняння є функція, де c - довільна константа.

Число e ірраціонально і навіть трансцендентно. Це перше число, яке не було виведено як трансцендентне спеціально, його трансцендентність була доведена лише в 1873 році Шарлем Ерміта. Передбачається, що e - нормальне число, то є ймовірність появи різних цифр у його записи однакова.

, див. формула Ейлера, зокрема

Ще одна формула, що зв'язує числа е і ПЂ , т. н. "Інтеграл Пуассона" або "інтеграл Гауса"

Для буд...


Страница 1 из 2Следующая страница

Друкувати реферат
Замовити реферат
Реклама
Наверх Зворотнiй зв'язок