Реферат з аналітичної геометрії
Тема: Криві на площині
Студентки групи ОАП 10-1:
Петренко Лідії
Лінія - загальна частина двох суміжних областей поверхні. Рухома точка описує при своєму русі деяку лінію. В аналітичній геометрії на площині лінії виражаються рівняннями між координатами їх точок. У прямокутній системі координат лінії розділяються в залежності від виду рівнянь. Якщо рівняння лінії має вигляд: F (x; y) = 0, де F (x; y) - многочлен n-го ступеня щодо x, у той лінія називається алгебраїчною лінією ого n-го порядку. Лінія 1-го порядку - Пряма. Конічні перетини відносяться до ліній 2-го порядку і т.д.
Спіралі
Спіралі (франц., однина spirale, від лат. spira, грец. speira - виток), плоскі криві лінії, незліченна безліч разів обходять деяку крапку, з кожним обходом наближаючись до неї або з кожним обходом віддаляючись від неї.
Якщо вибрати точку за полюс полярної системи координат, то полярне рівняння спіралі
r = f (j) таке, що f (j + 2p)> f (j) або f (j + 2p) < f (j) при всіх j. Зокрема, спіралі виходять, якщо f (j) - монотонно зростаюча або спадна позитивна функція.
Найбільш простий вид має рівняння Архімедова спіралі: r = а j, вивченої давньогрецьким математиком Архімедом (3 ст. до н. е..) у зв'язку із завданнями трисекции кута і квадратури кола у творі "Про спіралях".
З інших спіралей практичне значення має спіраль Корню (або клотоїда), застосовувана при графічному рішенні деяких задач дифракції. Параметричне рівняння цієї С. має вигляд:
.
Спіраль Корню є ідеальною перехідної кривої для заокруглення залізничної колії, так як її радіус кривизни зростає пропорційно довжині дуги. Спіралями є також евольвенти замкнутих кривих, наприклад евольвенти кола.
Назви деяким спіралях дані за подібністю їх полярних рівнянь з рівняннями кривих в декартових координатах, наприклад:
В· параболічна спіраль ( а - r) 2 = b j,
В· гіперболічна спіраль: r = а /j.
В· Жезл: r 2 = a/j
В· si-ci-cпіраль, параметричні рівняння якої мають вигляд:
,
[si ( T ) і ci ( t )-інтегральний синус і інтегральний косинус]. Кривизна si-ci-cпіралі змінюється з довжиною дуги за законом показовою функції. Такі спіралі застосовують в якості профілю для лекал.
Нагадує спіраль крива , звана кохлеоідой. Вона нескінченна безліч разів проходить через полюс, причому кожен наступний завиток лежить в попередньому.
Спіралі зустрічаються також при розгляді особливих точок в теорії диференціальних рівнянь
спіраль іноді називають також просторові криві, що роблять нескінченно багато оборотів навколо деякої осі, наприклад гвинтова лінія.
кардіоїда
Кардіоїда (грец. ОєО±ПЃОґОЇО± - серце, грец. Оµбј¶ОґОїП‚ - вид) - плоска лінія, яка описується фіксованою точкою окружності, що котиться по нерухомій окружності з таким же радіусом. Отримала своє назву через схожість своїх обрисів зі стилізованим зображенням серця.
Кардіоїда є окремим випадком равлики Паскаля, епіціклоіди і синусоїдальної спіралі.
Так ж можна сказати, що Кардіоїда-це плоска крива, описувана точкою М окружності, яка ззовні стосується нерухомої окружності того ж радіусу і котиться по ній без ковзання. Належить до епіціклоідам (плоска крива, описувана точкою окружності, яка ззовні стосується нерухомої окружності і котиться по ній без ковзання, до них відносяться кардіоїда, циклоїди, гіпоціклоіде). Є алгебраїчної кривої другого порядку.
Рівняння кардіоїда:
В· У прямокутній системі координат:
В· У прямокутній системі координат (параметрична запис):
x = 2 r cos t (1 + cos t )
y = 2 r sin t (1 + cos t )
В· В полярній системі координат:
В· Довжина дуги одного витка кардіоїда, заданої формулою:
дорівнює:
s = 8 a .
В· Площа фігури, обмеженої кардіоїда, заданої формулою:
дорівнює:.
Властивості кардіоїда:
1. Дотична в довільній точці кардіоїда проходить через точку кола виробляючого круга, діаметрально протилежною точці дотику кіл, а нормаль - через точку їх дотику.
2. Кут, що складається дотичній до кардіоїда з радіус-вектором точки дотику, дорівнює половині кута, утвореного цим радіус-вектором з полярною віссю.
3. Дотичні до кардіоїда, проведені в кінцях хорди, що проходить через полюс, взаємно перпендикулярні.
Циклоїди
циклоїди (від грец. ОєП…ОєО»ОїОµО№ОґО®П‚ - колоподібний) - плоска трансцендентна крива. Циклоїда визначається кінематично як траєкторія фіксованої точки виробляє окружності радіуса r , катящейся без ковзання по прямій.
Властивості:
1. Циклоїда - Періодична функція по осі абсцис, з періодом 2ПЂ r . За межі періоду зручно прийняти особливі точки (точки повернення) виду t = 2ПЂ k , де k - Довільне ціле число.
2. Для проведення дотичної до циклоїди в довільній її точці A досить з'єднати цю точку з верхньою точкою виробляє окружності. Поєднавши A з нижньою точкою виробляє кола, ми отримаємо нормаль.
3. Довжина арки циклоїди дорівнює 8 r . Це властивість відкрив Крістофер Рен (1658).
4. Площа під кожною аркою циклоїди втричі більше, ніж площа породжує кола. Торрічеллі повідомив, що цей факт Галілей відкрив експериментально: порівняв вагу пластинок з колом і з аркою циклоїди.
5. Радіус кривизни у першої арки циклоїди дорівнює.
6. В«ПеревернутаВ» циклоїда є кривою швидкого спуску ( брахістохроной ). Більш того, вона має також властивість таутохронності : важке тіло, поміщене в будь-яку точку арки циклоїди, досягає горизонталі за одне і той же час.
7. Період коливань матеріальної точки, ковзної по перевернутої циклоїди, не залежить від амплітуди, цей факт був використаний Гюйгенсом для створення точних механічних годин.
8. Еволюти циклоїди є циклоїдою, конгруентність вихідної, а саме - паралельно зрушеної так, що вершини переходять у В«шпичакиВ».
9. Деталі машин, які здійснюють одночасно рівномірний обертальний і поступальний рух, описують циклоїдальні криві (циклоїда, епіціклоіда, гіпоціклоіде, трохоіда, астроїда) (СР побудова Лемніската Бернуллі).
Рівняння
Приймемо горизонтальну вісь координат в якості прямої, по якій котиться виробляє окружність радіуса r .
В· Циклоїда описується параметрично:
x = rt - r sin t ,
y = r - r cos t .
В· Рівняння в декартовій прямокутній системі координат:
циклоїди може бути отримана як рішення диференціального рівняння:
астроїда
астроїда - плоска крива, описувана точкою M окружності радіуса r , що котиться по внутрішній стороні кола радіуса R = 4 r . Інакше кажучи, астроїда - це гіпоціклоіде з модулем m = 4.
Так ж можна сказати, що астроїда-це плоска крива, описувана точкою кола, яка стосується зсередини нерухомої окружності вчетверо більшого радіуса і котиться по ній без ковзання. Належить до гіпоціклоіде. Є алгебраїчної кривої шостого порядку.
Властивості
1. Маються чотири Каспію.
2. До...
