Розвиток математики
Введення
"Математика розум в порядок приводить "
М. Ломоносов
Історія розвитку математики - це не тільки історія розвитку математичних ідей, понять та напрямків, але це і історія взаємозв'язок математики з людською діяльністю, соціально-економічними умовами різних епох.
Становлення і розвиток математики як науки, виникнення її нових розділів тісно пов'язане з розвитком потреб суспільства у вимірах, контролі, особливо в областях аграрної, промислової та оподаткування. Перші галузі застосування математики були пов'язані зі спогляданням зірок і землеробством. Вивчення зоряного неба дозволило прокласти торгові морські шляхи, караванні дороги в нові райони і різко збільшити ефект торгівлі між державами. Обмін товарами приводив до обміну культурними цінностями, до розвитку толерантності як явища, що лежить в основі мирного співіснування різних рас і народів. Поняття числа завжди супроводжувалося і нечислових поняттями. Наприклад, один, два, багато ... Ці нечислові поняття завжди захищали сферу математики. Математика надавала закінчений вигляд усім наукам, де вона застосовувалася. В Європі склалося поділ на гуманітарні та природничі науки за ступенем впливу математики на ці частини.
1. ПЕРІОД елементарної математики
Наші початкові уявлення про число і формі ставляться до дуже віддаленій епосі стародавнього кам'яного віку. Числові терміни повільно входили в вживання рибалок, мисливців, а потім землевласників і торговців.
З дійшли до нас математичних документів Сходу можна укласти, що в Стародавньому Єгипті були сильні розвинені галузі математики, пов'язані з рішенням економічних задач. Папірус Райнда (Бл. 2000 р. до н.е.) починався з обіцянки навчити "зробленому й обгрунтованому дослідженню всіх речей, розумінню їхніх сутностей, пізнанню всіх таємниць ".
Фактично викладається мистецтво обчислення з цілими числами і дробами, в яке присвячувалися державні чиновники для того, щоб уміти вирішувати широке коло практичних задач, таких, як розподіл заробітної плати між відомим числом робочих, обчислення кількості зерна для готування такого-то кількості хліба, обчислення поверхонь і обсягів і т.д. Далі рівнянь першого ступеня і найпростіших квадратних рівнянь єгиптяни, очевидно, не пішли. Весь зміст відомої нам єгипетської математики переконливо свідчить, що математичні знання єгиптян призначалися для задоволення конкретних потреб матеріального виробництва.
Єгиптяни користувалися двома системами письма. Одна - ієрогліфічна - зустрічається на пам'ятках та могильних плитах, кожен символ зображує якийсь предмет. В іншій системі - ієратічеським - використовувалися умовні знаки, які сталися з ієрогліфів в результаті спрощень і стилізацій. Саме ця система частіше зустрічається на папірусах.
Ієрогліфічна система числення має підставу 10 і не є позиційною: для позначення чисел 1, 10, 100 і т.д. в ній використовується різні символи, кожен символ повторюється певне число разів, і, щоб прочитати число, потрібно підсумувати значення всіх символів, що входять в його запис. Таким чином, їх порядок не грає ролі, і вони записуються або горизонтально, або вертикально.
ієратічеським система числення також десяткова, але спеціальні додаткові символи допомагають уникнути повторення, прийнятого в ієрогліфічної системі.
Математика Вавилона, як і єгипетська, була викликана до життя потребами виробничої діяльності, оскільки вирішувалися задачі, пов'язані з потребами зрошення, будівництва, господарського обліку, відношеннями власності, численням часу. Збережений документи показують, що, базуючись на 60-річної системі числення, вавілоняни могли виконувати чотири арифметичних дії, існували таблиці квадратних коренів, кубів кубічних коренів, сум квадратів і кубів, ступенів даного числа, були відомі правила підсумовування прогресій. Чудові результати були отримані в області чисельної алгебри. Рішення задач проводилося за планом, задачі зводилися до єдиного "нормального" виду і потім вирішувалися по загальними правилами. Зустрічалися задачі, що зводяться до рішення рівнянь третього ступеня і особливих видів рівнянь четвертого, п'ятого і шостого ступенів.
Вавилонська система числення є комбінацією Шістдесяткова і десяткової систем із застосуванням позиційного принципу; в ній використовуються лише два різних символу: один позначає одиницю, другий - число 10; всі числа записуються за допомогою цих двох символів з урахуванням позиційного принципу. У самих древніх текстах (близько 1700 р. до н.е.) не зустрічається жодного символу для позначення нуля; таким чином, чисельне значення, яке надавалося символу, залежало від умов завдання, і один і той же символ міг позначати 1, 60, 3600 або навіть 1/60, 1/3600
Греки на протязі одного-двох сторіччя зуміли опанувати математичною спадщиною попередників, але вони не задовольнялися засвоєнням знань; греки створили абстрактну і дедуктивну математику. Вони були, перш за все, геометрами, імена яких і навіть твори дійшли до нас. Це Фалес Мілетський, школа Піфагора, Гіппократ Хіоскій, Демокріт, Евдокс, Аристотель, Евклід, Архімед, Аполонія.
Мілетська школа, заложившая основи математики як доказової науки - одна з перших античних математичних шкіл. Вона існувала в Іонії наприкінці V-IV ст. до н.е; основними діячами її були Фалес (Ок.624-547 рр.. До н.е.), Анаксимандр (бл. 610-546 рр.. До н.е.) і Анаксимен (Ок.585-525 гг.до н.е.).
Основоположником піфагорійской школи був Піфагор Самоський (580-500 до н.е.).
Головною заслугою піфагорійців в області науки є істотне розвиток математики, як за змістом, так і за формою. За змістом - відкриття нових математичних фактів. За формою - побудова геометрії і арифметики як теоретичних, доказових наук, які вивчають властивості абстрактних понять про числах і геометричних формах.
Дедуктивное побудова геометрії стало потужним стимулом її подальшого зростання.
Піфагорійці розвинули й обгрунтували планіметрію прямолінійних фігур: вчення про паралельні лінії, трикутників, чотирикутників, правильних многоугольниках. Отримала розвиток елементарна теорія окружності і кола.
Наявність у піфагорійців вчення про паралельних лініях говорить про те, що вони володіли методом докази від противного і вперше довели теорему про суму кутів трикутника. Вершиною досягнень піфагорійців в планіметрії є доказ теореми Піфагора.
Числа в піфагорійців виступають основними універсальними об'єктами, до яких передбачалося зводити не тільки математичні побудови, але і все різноманіття дійсності. Фізичні, етичні, соціальні і релігійні поняття одержали математичне забарвлення. Науці про числа й інші математичні об'єкти приділяється основне місце в системі світогляду, тобто фактично математика об'являється філософією.
Хоч як великі заслуги піфагорійців у розвитку змісту і систематизації геометрії і арифметики, проте всі вони не можуть зрівнятися зі зробленим ними ж відкриттям несумірних величин. Це відкриття стало поворотним пунктом в історії античної математики.
Елейський школа - це одна з найдавніших шкіл, у працях якої математика і філософія достатньо тісно і різнобічно взаємодіють. Основними представниками елейскої школи вважають Парменіда (кінець VI - V ст. До н.е.) і Зенона (перша половина V ст. До н.е.).
В силу тісного взаємозв'язку загальних філософських уявлень із фундаментальними математичними положеннями удар, нанесений Зеноном по філософських поглядах, істотно торкнув системи математичних знань. Цілий ряд найважливіших математичних побудов, що рахувалися до цього, безсумнівно, вірними, у світлі зеноновських побудов виглядали як суперечливі.
Значно складніше було побудувати систему фундаментальних положень математики, у якій би виявлені Зеноном протиріччя не мали б місця. Цю задачу вирішив грец...
