Зміст
Введення. 3
1. Поняття евристики та особливості застосування евристики в математиці. 6
1.1. Поняття докази в математиці. 6
1.2. Евристика як метод наукового пізнання. 10
1.3. Евристичний підхід до побудові математичних доказів у рамках логічного підходу. 19
2. Евристичні прийоми побудови математичних доказів. 23
2.1. Евристичний метод побудови математичних доказів. 23
2.2. Особливості застосування евристичного підходу при доказі теорем 28
Висновок. 39
Список літератури .. 42
Введення
Логічне доказ математичних побудов відомо ще з Давньої Греції. Грецькі математики піфагорейської школи вже в VI-V століттях до нашої ери робили спроби розташувати ланцюг математичних доказів у певну послідовність, щоб перехід від одного поняття до іншого не викликав ні у кого ніяких сумнівів. Цей В«дедуктивнийВ» метод отримав подальший розвиток у Евкліда, Архімеда і Аполону. Поняття докази у них вже ні в чому істотному не відрізняється від нашого. Математика і, зокрема, геометрія, стала наукою лише тоді, коли в ній почали систематично застосовувати логічні докази, коли її положення стали виводити не тільки шляхом безпосередніх вимірювань, але і за допомогою умовиводів, коли ті чи інші її положення почали встановлювати в загальному вигляді.
Узагальнені прийоми розумової діяльності діляться на дві великі групи - прийоми алгоритмічного типу та евристичні. Зупинимося спочатку на характеристиці прийомів алгоритмічного типу.
Це прийоми раціонального, правильного мислення, повністю відповідного законам формальної логіки. Точне слідування приписам, які даються такими прийомами, забезпечує безпомилкове рішення широкого класу задач, на який ці прийоми безпосередньо розраховані. Формування прийомів розумової діяльності алгоритмічного типу, орієнтувальних на формально-логічний аналіз завдань, є необхідною, але не достатньою умовою розвитку мислення. Необхідно воно, по-перше, тому, що сприяє вдосконаленню репродуктивного мислення, що є важливим компонентом творчої діяльності (особливо на початковому і кінцевому етапах вирішення проблем). По-друге, ці прийоми служать тим фондом знань, з яких учень може черпати В«будівельний матеріал В»для створення, конструювання методів вирішення нових для нього завдань. Недостатнім формування алгоритмічних прийомів є тому, що не відповідає специфіці продуктивного мислення, не стимулює інтенсивний розвиток саме цієї сторони розумової діяльності.
Евристичні методи рішення задач - це система принципів та правил, які задають найбільш імовірнісні стратегії і тактики діяльності вирішального, стимулюючі його інтуїтивне мислення в процесі рішення, генерування нових ідей і на цій основі істотно підвищують ефективність вирішення певного класу задач.
Евристичні прийоми безпосередньо стимулюють пошук рішення нових проблем, відкриття нових проблем, відкриття нових для суб'єкта знань і тим самим відповідають самій природі, специфіці творчого мислення. На відміну від прийомів алгоритмічного типу, евристичні прийоми орієнтують не на формально-логічний, а на змістовний аналіз проблем. Вони направляють думку вирішальних на проникнення в суть описуваного в умови предметного змісту, на те, щоб за кожним словом вони бачили його реальний зміст і по ньому судили про роль у вирішенні того чи іншого даного. Багато евристичні прийоми стимулюють включення в процес вирішення проблем наочно-образного мислення, що дозволяє використовувати його перевага перед словесно логічним мисленням - можливість цілісного сприйняття, бачення всієї описуваної в умові ситуації. Тим самим полегшується перебіг характерних для продуктивного мислення інтуїтивних процесів.
Метою даної роботи є розгляд евристичних логічних підходів до побудови доказів.
У роботі поставлені наступні завдання:
- розглянути поняття доказу в математиці і його особливості;
- розглянути евристику як метод наукового пізнання;
- розглянути особливості евристичного підходу в рамках логічного;
- розглянути евристичні прийоми побудови математичних доказів.
При написанні роботи були використані праці таких авторів, як Серебряникова О.Ф., Лакатоса І., Писаревського Б. М., Заесенок В. П., Саранцева Г.І., Бєляєва Е.А, Пермінова В.Я., Калошин І.П., Мінічкіной Н.В., Харічевой Г.І., Мінічкіной Н.В., Адамара Ж., Белла Е.Т., Біркгоф Г., Болтянский В.Г., Куранта Р., Робінса Г., Шакурова Р.Х.
1. Поняття евристики і особливості застосування евристики в математиці
1.1. Поняття докази в математиці
Теорія докази розроблена в логіці і включає три структурних компонента: теза (те, що передбачається довести), аргументи (сукупність фактів, загальноприйнятих понять, законів і т.п. відповідної науки) і демонстрація (сама процедура розгортання докази; послідовна ланцюг умовиводів, коли n-ное умовивід стає однією з посилок n +1- го умовиводи). Виділяються правила докази, вказані можливі логічні помилки.
Математичне доказ має багато спільного з тими принципами, які встановлюються формальною логікою. Більш того, математичні правила міркувань і операцій, очевидно, послужили однією з основ у розробці процедури докази в логіці. Зокрема, дослідники історії становлення формальної логіки вважають, що свого часу, коли Аристотель зробив перші кроки по створенню законів та правил логіки, він звернувся до математичних і до практики юридичної діяльності. У цих джерелах він і знаходив матеріал для логічних побудов задуманої теорії.
У XX в. поняття доказу втратило строгий зміст, що сталося у зв'язку з виявленням логічних парадоксів, таівшіхся в теорії множин і особливо у зв'язку з результатами, які принесли теореми К. Геделя про неповноту формалізації. [1]
Перш за все, це торкнулося самої математики, в зв'язку, з чим було висловлено переконання, що термін "доказ" не має точного визначення. Але якщо вже подібна думка (що має місце і понині) зачіпає саме математику, то приходять до висновку, згідно з яким доказ слід прийняти не в логіко-математичному, а в психологічному сенсі. При тому подібний погляд виявляють і у самого Аристотеля, який вважав, що довести означає провести міркування, яке переконало б нас в такій мірі, що, використовуючи його, переконуємо інших у правоті чого-небудь. Певний відтінок психологічного підходу знаходимо у А.Є. Єсеніна-Вольпін. Він різко виступає проти прийняття істини без доказу, пов'язуючи це з актом віри і далі пише: "Доказом судження називають чесний прийом, який робить це судження незаперечним ". Єсенін віддає звіт, що його визначення потребує ще в уточненнях. Разом з тим, сама характеристика докази як "чесного прийому "чи не видає апеляцію до морально-психологічній оцінці?
Разом з тим виявлення теоретико-множинних парадоксів і поява теорем Геделя якраз сприяли й розробці теорії математичного докази, розпочатої інтуіціоністамі, особливо конструктивістського напрямки, і Д. Гільбертом.
Іноді вважають, що математичне доказ носить загальний характер і являє ідеальний варіант наукового доказу. Однак воно - не єдиний метод, є й інші способи доказових процедур і операцій. Вірно лише те, що у математичного доказу чимало схожого з формально-логічним, реалізованому в природознавстві, і що математичне доказ має певну специфіку, рівно, як і набір прийомів-операцій. На цьому ми і зупинимося, опускаючи те спільне, що ріднить його з іншими формами доказів, тобто не розгортаючи у всіх кроках (навіть і основних) алгоритм, правила, помилки і т.п. процесу докази.
Математичне доказ представляє міркування, що має завданням обгрунтувати істинність (звичайно, в математичному, тобто як виводимість, сенсі) будь-якого затвердження.
Звід правил, що застосовуються в доказі, сформувався разом з появою аксіоматичних побудов математичної теорі...
