Відділ освіти гомельського міського
Виконавчого комітету
Державна установа освіти
«óмназія № 71 м. ГомеляВ»
Конкурсної роботи
В«Застосування диференціального й інтегрального числення до вирішення фізичних і геометричних задач в MATLab В»
Виконавець: Орєхова Ксенія Іванівна,
учнівська 9Б класу
Керівник: Горський Сергій Михайлович,
вчитель інформатики
Державного установи освіти
«óмназія № 71 м. ГомеляВ»
Гомель
2008
Зміст
Введення
1. Історія інтегрального та диференціального числення
2. Диференціал у фізиці
3. Додатки певного інтеграла до вирішення деяких завдань механіки і фізики
4. Диференціальні рівняння
5. Приклади розв'язання задач у matlab
Список використаних джерел
Введення
Факультативний курс В«Застосування диференціального та інтегрального числення до вирішення фізичних і геометричних задач В»має своєю метою вивчення курсу математичного аналізу на основі практичного висвітлення матеріалу, на основі використання методів даного розділу математики для рішення задач геометрії і фізики; а так само реалізації цих завдань на комп'ютері (за допомогою пакету MATLAB).
В результаті можна сказати, що таке об'ємне, не конкретне формулювання теми і мети факультативного курсу дає можливим його реалізацію в школі. У шкільному курсі алгебри і початків аналізу курс В«Застосування диференціального й інтегрального числення до вирішення фізичних і геометричних задач В»спрямований на вивчення певного інтеграла.
Місце теми в шкільному курсі математики .
Факультативний курс В«Застосування інтегрального числення до вирішення фізичних і геометричних задач В»поглиблює матеріал курсу алгебри і початків аналізу в одинадцятому класі і розкриває можливості для практичного закріплення матеріалу за темами, що входять в шкільний курс математики. Це теми В«Похідна функціїВ», В«Визначений інтегралВ» в алгебрі, і деякі теми в геометрії та фізиці. В результаті даний факультативний курс реалізує межпредметную зв'язок алгебри і математичного аналізу з геометрією, інформатикою та фізикою.
Розвитку в учнів правильних уявлень про характер відображення алгеброю основних елементів в геометрії та фізиці, ролі математичного моделювання у науковому пізнанні сприяє знайомство їх з рішенням і візуалізацією різних математичних задач на комп'ютері. Виклад факультативного курсу базується на основних можливостях версії 6.1 пакета математичних та інженерних обчислень MATLAB, що став в даний час стандартним засобом підтримки вивчення вищої математики, чисельного аналізу та інших навчальних курсів у багатьох університетах. Учням викладаються основні можливості чисельних і символьних обчислень, програмування та візуалізації результатів, надані ядром системи MATLAB і його пакету розширення Symbolic Math Toolbox.
Основні поняття факультативного курсу : певний інтеграл, довжина кривої, площа, поверхня обертання, циліндрична поверхня, об'єм тіла та ін
Цілі факультативного курсу.
1. Навчальні : провести практичне закріплення за темою В«Визначений інтегралВ», познайомити учнів з пакетом математичних і інженерних обчислень MATLAB 6.1, проілюструвати реалізацію міжпредметних зв'язків математичного аналізу з геометрією, інформатикою та фізикою.
2. Виховують: створення умов для успішного професійного самовизначення учнів за допомогою рішення важких завдань з використанням комп'ютера, виховання світогляду і ряду особистісних якостей, засобами поглибленого вивчення математики.
3. Розвиваючі: розширення кругозору учнів, розвиток математичного мислення, формування активного пізнавального інтересу до предмета, розвиток професійних інтересів учнів, розвиток навичок самостійної та дослідницької діяльності, розвиток рефлексії учнів (Усвідомлення своїх нахилів та здібностей, необхідними для майбутньої професійної діяльності).
1. Історія інтегрального та диференціального обчислення
Історія поняття інтеграла тісно пов'язана з завданнями знаходження квадратур. Завданнями про квадратуру тієї чи іншої плоскої фігури математики Стародавньої Греції та Риму називали задачі, які ми зараз відносимо до завдань на обчислення площ. Латинське слово quadratura перекладається як В«Надання квадратної формиВ». Необхідність у спеціальному терміні пояснюється тим, що в античний час (і пізніше, аж до XVIII століття) ще не були достатньо розвинені звичні для нас уявлення про дійсні числах. Математики оперували з їх геометричними аналогами або скалярними величинами, які не можна перемножувати. Тому і задачі на знаходження площ припадало формулювати, наприклад, так: В«Побудувати квадрат, рівновеликий даному колуВ». (Ця класична задача В«про квадратуру колаВ» не може, як відомо, бути вирішена за допомогою циркуля і лінійки.)
Багато значні досягнення математиків Стародавньої Греції у вирішенні завдань на знаходження квадратур (тобто обчислення площ) плоских фігур, а також кубатур (Обчислення об'ємів) тел пов'язані із застосуванням методу вичерпання, запропонованим Евдоксом Кнідським (бл. 408 - бл. 355 до н.е.). Метод Евдокса був вдосконалений Архімедом (бл. 287 - 212 до н.е.). З цією модифікацією ви знайомі: виведення формули площі кола, запропонований в курсі геометрії, заснований на ідеях Архімеда
Його дотепні і глибокі ідеї, пов'язані з обчисленням площ і об'ємів тіл, вирішенням завдань механіки, по суті, передбачають відкриття математичного аналізу і інтегрального числення, зроблене майже 2000 років потому. Додамо, що практично і перші теореми про границі були доведені їм.
Крім цього Архімед дав оцінку числа В«піВ» (), знайшов обсяги кулі і еліпсоїда, площа сегмента параболи і т. д. Сам Архімед високо цінував ці результати: згідно з його бажанням на могилі Архімеда висічений кулю, вписаний в циліндр (Архімед показав, що обсяг такого кулі дорівнює 2/3 об'єму циліндра).
Математики XVII сторіччя, здобули багато нових результати, навчалися на працях Архімеда. Активно застосовувався й інший метод - метод неподільних, котрий також зародився в Стародавній Греції (він пов'язаний в першу чергу з поглядами Демокрита). Наприклад, криволінійну трапецію вони уявляли собі складеної з вертикальних відрізків довжиною f (х) , яким, тим не менш, приписували площу, рівну нескінченно малій величині f (x) dx. У відповідності з таким розумінням шукана площа вважалася рівній сумі нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі доданки в цій сумі - нулі, але нулі особливого роду, які, складені в нескінченному числі, дають цілком певну позитивну суму.
На такої гаданої тепер, щонайменше, сумнівною основі І. Кеплер (1571-1630) у своїх творах В«Нова астрономіяВ» (1609 р.) і В«Стереометрія винних бочокВ» (1615 р.) правильно обчислив ряд площ (наприклад, площа фігури, обмеженої еліпсом) і обсягів (тіло розрізали на нескінченно тонкі пластинки). Ці дослідження були продовжені італійськими математиками Б. Кавальєрі (1598-1647) і Е. Торрічеллі (1608-1647). Зберігає своє значення і в наш час сформульований Б. Кавальєрі принцип для площ плоских фігур: Нехай прямі деякого пучка паралельних перетинають фігури Ф1 і Ф2 по відрізкам рівної довжини. Тоді площі фігур Ф1 і Ф2 рівні.
Аналогічний принцип діє в стереометрії та виявляється корисним при знаходженні об'ємів. Найпростіші слідства принципу Кавальєрі ви можете вивести самі. Доведіть , наприклад, що прямий і похилий циліндри із загальним підставою і висотою мають рівні обсяги.
У XVII в. були зроблені багато відкриттів, що відносяться до інт...
