Основні завдання обчислювальної математики. Теорія похибок. Наближене обчислення значень функцій заданих аналітично. Оцінка похибки обчислень.
Робота сучасного інженера, фізика і будь-якого іншого дослідника пов'язана з моделюванням складних процесів, що відбуваються в різних областях знань і діяльності людини. Найчастіше, моделювання є середньою ланкою в розробці проекту і його впровадження у виробництво. Процес проектування можна представити схематично: (рис 1).
рис 1.
Для дослідження властивостей побудованої математичної моделі, в більшості випадків, не вдається аналітично вирішити задачу. Тому, набирають чинності методи обчислювальної математики, які дозволяють рішення кожної задачі довести до числового результату і оцінити точність вироблених обчислень.
При роботі з наближеними величинами доводиться вирішувати наступні завдання:
а) давати математичні характеристики точності наближених величин;
б) оцінювати точність результату, коли відома точність вихідних даних;
в) знаходити точність вихідних даних, що забезпечує задану точність результату;
г) погоджувати точність вихідних даних з тим, щоб не затрачати зайвої роботи при відшуканні або обчисленні одних даних, якщо інші дані занадто грубі;
а) Визначення: абсолютна похибка - це абсолютна величина різниці між точним значенням величини та її наближеним значенням:
(1.1)
Тут слід розрізняти два випадки:
- точне значення числа нам відомо, що на практиці дуже рідко, тоді користуємося формулою (1.1).
Приклад 1: а = 5.129 а * = 5.128, тоді;
- Точне значення числа невідомо, тоді вводять поняття граничної абсолютної похибки.
Визначення: граничної абсолютної похибкою наближеного числа називають всяке число, не меншу абсолютної похибки цього числа.
Таким чином, якщо - гранична абсолютна похибка наближеного числа, то
(1.2)
звідси випливає, що
(1.3)
Значення граничної абсолютної похибки, звичайно, підбирається інтуїтивно за змістом завдання.
Приклад 2: Визначити граничну абсолютну похибку числа, що заміняє число, точне значення якого нам невідомо.
Так як ми знаємо, що, то можемо стверджувати:
(1.4)
і, отже,, тобто можемо сказати, що
(1.5)
Поняття абсолютної похибки та граничної абсолютної похибки, хоча і дають уявлення про точність обчислень, однак не завжди достатні.
Наприклад: якщо при вимірюванні довжини стрижнів отримані результати: , то, незважаючи на збіг граничних абсолютних похибок, якість першого вимірювання вище другого, тому якщо похибка близька за величиною від самого наближеного числа, то точність цього виміру недостатня. Виданого прикладу зрозуміло, що для оцінки якості вимірювання, нам потрібна абсолютна похибка, яка припадає на одиницю довжини. Така похибка носить назву відносної похибки.
Визначення: відносною похибкою наближеного числа називається відношення абсолютної похибки цього числа до модуля відповідного точного числа:
(1.6)
Оскільки точне значення величини нам часто не відомо, то розглянемо поняття граничної відносної похибки.
Визначення: граничною відносною похибкою даного наближеного числа називається всяке число, не менше відносної похибки цього числа:
(1.7)
Звідси випливає, що
(1.8)
тобто
(1.9)
але, як відомо:
(1.10)
Зіставлення формул (1.9) і (1.10) дає співвідношення між граничною абсолютною похибкою і граничної відносною похибкою:
(1.11)
З цієї формули іноді виражають і пишуть:
(1.12)
Розглянемо приклади:
Приклад 3: Вага 1 дм 3 води при дорівнює р. Визначити граничну відносну похибку результату зважування.
Рішення: очевидно, що гранична абсолютна похибка р. і, отже:
(1.13)
Приклад 4: При визначенні газової постійної для повітря, отримали. Знаючи, що відносна похибка цього значення, знайти межі, в яких полягає R.
Рішення: маємо:, тоді, тобто
(1.14)
Тепер займемося вивченням поширення похибок через арифметичних дій.
б) Розглянемо функцію, нехай значення змінних, обчислені наближено, де відповідні абсолютні похибки.
Нас цікавить абсолютна і відносна похибки обчислених значень функції.
За визначенню видно, що абсолютна похибка функції має вигляд:
зазвичай , Тому, розкладаючи в ряд Тейлора, можна обмежитися лише лінійними членами щодо. Отримуємо:
(1.15)
Звідси отримуємо оцінку:
(1.16)
Тоді для граничних абсолютних похибок маємо:
(1.17)
Розділивши обидві частини (1.17) на, отримуємо граничну відносну похибку при обчисленні функції, в точці:
(1.18)
Або записуючи більш компактно:
(1.19)
Цю формулу можна переписати у вигляді:
(1.20)
в) Розглянемо окремі випадки:
1. Нехай. Вивчимо абсолютні і відносні похибки суми.
Рішення: тому що
(1.21)
то з (1.17) отримуємо
(1.22)
Також з (1.18) отримуємо:
(1.23)
2. Нехай,. Вивчимо абсолютні і відносні похибки різниці
Рішення: ;, Тому з (1.17) маємо
(1.24)
А з (1.18) отримуємо:
(1.25)
Ясно, що якщо і близькі один до одного числа, то дуже мале число, тобто абсолютна похибка різниці буде дуже великим числом. Тому при обчисленнях, де це можливо, потрібно уникати віднімання близьких один до одного чисел.
Наприклад, якщо нам потрібно вести обчислення за формулою: - обсяг між двома сферами, де - дуже мале число. Тут краще позбутися віднімання та користуватися аналогічною формулою, тим самим, обходячи віднімання близьких чисел, яке може бути більше відносної похибки обчислень.
3. Вивчимо похибки твори чисел.
(1.26)
(1.27)
звідси очевидно, що
(1.28)
(1.29)
Таким чином, при множенні наближених чисел, відносні похибки складаються.
4. Розглянемо похибки ділення чисел.
(1.30)
, (1.31)
Тому
(1.32)
(1.33)
З вищевикладених приватних випадків випливає, що при обчисленнях на ЕОМ:
- немає сенсу виробляти округлення перед складанням (тому збільшимо похибка);
- при відніманні треба всіляко уникати різниці близьких чисел;
- якщо обчислюємо добуток чисел з k вірними знаками, то в результаті матимемо не менше k-1 вірних знаків;
- при діленні діють ті ж правила, що і при множенні, але треба уникати поділу на мале число (близьке до нуля).
Вищевикладена теорія похибок заснована на припущенні, що-похибки настільки малі, що їх квадратами можемо вже нехтувати (на цьому засноване В«обрізанняВ» формули Тейлора).
Тому всі введені формули втрачають силу, якщо ці умови порушені. У таких випадках потрібно використовувати і квадратичні члени, щоб отримати більш точну теорію.
Але треба враховувати, що в цьому випадку формули значно ускладнюються.
В закінчення розглянемо числовий приклад:
Приклад 5: Знайти граничні абсолютну і відносну похибки об'єму кулі, якщо см.,.
Рішення:
маємо:
;;;
;;;
(1.34)
(1.35)
Вправа: вивести формули граничної абсолютної і відносної похибок для функції, а далі для многочлена та раціональної функції.
Приклад 6: Знайти суму наближених чисел: і .
Рішення:
, тобто .
Приклад 7: Знайти відносну похибку різниці чисел і, якщо,
тобто якщо
Рішення:
Саме тому уникають віднімання наближених значень близьких один до одного чисел.
Приклад 8: Знайти добуток чисел, якщо всі знаки вірні: і .
Рішення: , Тому що і,
то маємо
і
отже
, тобто
Остаточно маємо:.
Приклад 9: Відстань між двома пунктами по прямій одно км.
За який час звук пошириться від одного пункту до іншого в повітрі і по рейках, якщо швидкість звуку в повітрі м/с, а в сталі м/с?
Рішення: (с.); (с.)
,
тобто
(с.) (с.)
(с.) (с.)
