Контрольна робота
Основи вищої математики
Зміст
Введення
1 Операція множення (Ділення) матриці будь-якого розміру на довільне число
2 Добуток матриць
3 Транспонована матриця
4 Задача
Список використаних джерел
Введення
Поняття Матриця (у математиці) було введено в роботах У. Гамільтона і А. Келі в середині 19 століття. Основи теорії створені К. Вейерштрасом і Ф. Фробеніус (2-я половина 19 століття і початок 20 століття). І.А. Лаппо-Данилевський розробив теорію аналітичних функцій від багатьох матричних аргументів і застосував цю теорію до дослідження систем диференціальних рівнянь з аналітичними коефіцієнтами. Матричні позначення набули поширення в сучасній математиці і її додатках. Обчислення Матриця (у математиці) розвивається у напрямі побудови ефективних алгоритмів для чисельного вирішення основних завдань.
За допомогою матриць зручно розв'язувати системи лінійних рівнянь, виконувати багато операцій з векторами, вирішувати різні завдання комп'ютерної графіки та інші інженерні завдання.
1 Операція множення (ділення) матриці будь-якого розміру на довільне число
Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить деяку кількість m рядків і деяка кількість п стовпців. Числа т і п називаються порядками матриці. В випадку, якщо т = п, матриця називається квадратною, а число m = n - її порядком.
Всі числа, входять у матрицю називаються її елементами. Якщо всі елементи складаються їх нулів, то це нульова матриця, вона грає роль нуля в матричному численні.
одинична матриця називається квадратна матриця будь-якого розміру, де по головній діагоналі стоять одиниці, а всі інші елементи дорівнюють нулю.
грає роль одиниці в матричному численні.
Якщо таку матрицю помножити на іншу матрицю (при можливості множення) дасть вихідну матрицю.
- дельта Кронекера
Операція множення (Ділення) матриці будь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (Поділу) кожного елемента матриці на це число. Твором матриці А на число k називається матриця В, така що bij = k Г— aij.
В = k Г— A
bij = K Г— aij.
Матриця - А = (-1) Г— А називається протилежною матриці А.
2 Добуток матриць
Операція множення двох матриць вводиться тільки для випадку, коли число стовпців першої матриці одно числу рядків другого матриці. Твором матриці Аm Г— n на матрицю Вn Г— p, називається матриця Сm Г— p така, що
сik = ai1 Г— b1k + ai2 Г— b2k + ... + Ain Г— bnk,
т. тобто знаходитися сума добутків елементів i - го рядка матриці А на відповідні елементи j - ого стовпця матриці В. Якщо матриці А і В квадратні одного розміру, то твори АВ і ВА завжди існують. Легко показати, що А Г— Е = Е Г— А = А, де А квадратна матриця, Е - одинична матриця того ж розміру.
Властивості множення матриць:
Множення матриць НЕ комутативність, тобто АВ в‰ ВА навіть якщо визначені обидва добутки. Однак, якщо для будь - яких матриць співвідношення АВ = ВА виконується, то такі матриці називаються перестановочне. Найхарактернішим прикладом може служити одинична матриця, яка є перестановною з будь-якої іншої матрицею того ж розміру. Перестановочне можуть бути тільки квадратні матриці одного і того ж порядку.
А Г— Е = Е Г— А = А
Множення матриць володіє наступними властивостями:
1. А Г— (В Г— С) = (А Г— В) Г— С;
2. А Г— (В + С) = АВ + АС;
3. (А + В) Г— С = АС + НД;
4. О± Г— (АВ) = (О±А) Г— В;
5. А Г— 0 = 0; 0 Г— А = 0;
6. (АВ) Т = ВТАТ;
7. (АВС) Т = СТВТАТ;
8. (А + В) Т = АТ + ВТ
3 Транспонована матриця
Транспонована матриця - матриця AТ, отримана з вихідної матриці A заміною рядків на стовпці.
Формально, транспонована матриця для матриці A розмірів m * n - матриця AT розмірів n * m, визначена як AT [i, j] = A [j, i].
Наприклад,
Властивості транспонованої матриці:
1. (AT) T = A
2. (A + B) T = AT + BT
3. (AB) T = BTAT
4. detA = detAT
4 Задача
Список використаних джерел
1. Вигодський М.Я. Довідник з вищої математики. - М.: АСТ, 2005. - 991 с.
2. Вища математика для економістів: Підручник для вузів/під ред. Проф.Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000.
3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Брічкова Е.А. Довідник з вищої математики. - Мінськ. ТетраСістемс, 2004. - 640 с.
4. Міносці В.Б. Курс вищої математики. Частина 2. - М.: 2005. - 517 с.
