РЕФЕРАТ
На тему: В«Подоба фігурВ»
Виконала:
учениця
Перевірила:
Зміст
1. Перетворення подібності
2. Властивості перетворення подібності
3. Подобу фігур
4. Ознака подібності трикутників за двома кутами
5. Ознака подібності трикутників за двома сторонам і куту між ними
6. Ознака подібності трикутників за трьома сторонам
7. Подібність прямокутних трикутників
8. Кути, вписані в коло
9. Пропорційність відрізків хорд і січних кола
10. Завдання на тему В«Подоба фігурВ»
1. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ
Перетворення фігури F у фігуру F 'називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одне і те ж число разів (рис. 1). Це означає, що якщо довільні точки X, Y фігури F при перетворенні подібності переходять в точки X ', Y' фігури F ', то X'Y' = k-XY, причому число k - одне і те ж для всіх точок X, Y . Число k називається коефіцієнтом подібності. При k = l перетворення подібності, очевидно, є рухом.
Рис.1
Нехай F - дана фігура і О - фіксована точка (рис. 2). Проведемо через довільну точку X фігури F промінь ОХ і відкладемо на ньому відрізок ОХ ', рівний k О‡ OX, де k - позитивне число. Перетворення фігури F, при якому кожна її точка X переходить у точку X ', побудовану зазначеним способом, називається гомотетії відносно центру О. Число k називається коефіцієнтом гомотетии, фігури F і F 'називаються гомотетічнимі.
Теорема 1. Гомотетия є перетворення подібності
Доказ. Нехай О - центр гомотетії, k - коефіцієнт гомотетії, X і Y - дві довільні точки фігури (рис.3)
Рис.3 Рис.4
При гомотетії точки X і Y переходять в точки X 'і Y' на променях ОХ і OY відповідно, причому OX '= k О‡ OX, OY' = k О‡ OY. Звідси слідують векторні рівності ОХ '= kOX, OY' = kOY.
Віднімаючи ці рівності почленно, отримаємо: OY'-OX '= k (OY-OX).
Так як OY '- OX' = X'Y ', OY -OX = XY, то Х 'Y' = kХY. Значить,/X'Y '/ = k/XY /, т.e. X'Y '= kXY. Отже, гомотетия є перетворення подібності. Теорема доведена.
Перетворення подібності широко застосовується на практиці при виконанні креслень деталей машин, споруд, планів місцевості та ін Ці зображення являють собою подібні перетворення уявних зображень у натуральну величину. Коефіцієнт подібності при цьому називається масштабом. Наприклад, якщо ділянка місцевості зображується в масштабі 1:100, то це означає, що одному сантиметру на плані відповідає 1 м на місцевості.
Задача. На малюнку 4 зображено план садиби в масштабі 1:1000. Визначте розміри садиби (довжину і ширину).
Рішення. Довжина і ширина садиби на плані рівні - 4 см і 2,7 см. Так як план виконаний в масштабі 1:1000, то розміри садиби дорівнюють відповідно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.
2. ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ
Так само як і для руху, доводиться, що при перетворенні подібності три точки А, В, С, лежать на одній прямій, переходять у три точки А 1 , В 1 , С 1 , також лежать на одній прямій. Причому якщо точка В лежить між точками А і С, то точка В 1 лежить між точками А 1 і С 1 . Звідси випливає, що перетворення подібності переводить прямі в прямі, півпрямі в півпрямі, відрізки у відрізки.
Доведемо, що перетворення подібності зберігає кути між півпрямі.
Рис. 5
Дійсно, нехай кут ABC перетворенням подібності з коефіцієнтом k перекладається в кут А 1 В 1 З 1 (Рис. 5). Піддамо кут ABC перетворенню гомотетии щодо його вершини В з коефіцієнтом гомотетії k. При цьому точки А і С перейдуть у точки А 2 і С 2 . Трикутники А 2 НД 2 і А 1 В 1 З 1 дорівнюють по третьому ознакою. З рівності трикутників випливає рівність кутів А 2 НД 2 і А 1 В 1 З 1 . Значить, кути ABC і А 1 В 1 З 1 рівні, що й потрібно було довести.
3. ПОДОБИЕ ФІГУР
Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Для позначення подібності фігур використовується спеціальний значок: в€ћ. Запис F в€ћ F 'читається так: В«Фігура F подібна фігурі F'В».
Доведемо, що якщо фігура F 1 подібна фігурі F 2 , а фігура F 2 подібна фігурі F 3 , то фігури F 1 і F 3 подібні.
Нехай Х 1 і Y 1 - дві довільні точки фігури F 1 . Перетворення подібності, що переводить фігуру F 1 в F 2 , переводить ці точки в точки Х 2 , Y 2 , для яких X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1 .
Перетворення подібності, що переводить фігуру F 2 в F 3 , переводить точки Х 2 , Y 2 в точки Х 3 , Y 3 , для яких X 3 Y 3 = - k 2 X < sub> 2 Y 2 .
З рівностей
X 2 Y 2 = kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2
випливає, що X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . А це означає, що перетворення фігури F 1 в F 3 , що виходить при послідовному виконанні двох перетворень подібності, є подоба. Отже, фігури F 1 і F 3 подібні, що і вимагалося довести.
У записі подібності трикутників: О”ABC в€ћ О”A 1 B 1 C 1 - Передбачається, що вершини, поєднувані перетворенням подібності, стоять на відповідних місцях, тобто А переходить в А 1 , В - в B 1 і С - в С 1 .
З властивостей перетворення подібності випливає, що у подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Зокрема, у подібних трикутників ABC і А 1 В 1 З 1
A = А 1 , В = В 1 , С = С 1
4. Ознаки подібності трикутників по двох кутах
Теорема 2. Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.
Доказ. Нехай у трикутників ABC і A 1 B 1 C 1 А = А 1 , B = B 1 . Доведемо, що О”АВС ~ О”А 1 В 1 З 1 .
Нехай. Піддамо трикутник А 1 В 1 З 1 перетворенню подібності з коефіцієнтом подібності k, наприклад гомотетии (Рис. 6). При цьому отримаємо деякий трикутник А 2 В 2 З 2 , рівний трикутнику ABC. Дійсно, так як перетворення подібності зберігає кути, то A 2 = А 1 , B 2 = B 1 . А значить, у трикутників ABC і А 2 В 2 З 2 A = A 2 , B = B 2 . Далі, A 2 B 2 = kA 1 B 1 = AB. Отже, трикутники ABC і А 2 В 2 З 2 дорівнюють по другому ознакою (по стороні і прилеглих до неї кутам).
Так як трикутники А 1 В 1 З 1 і А 2 В 2 З 2 гомотетічни і, значить, подіб...