Дисципліна: Вища математика
Тема: Повне дослідження функцій і побудова їх графіків.
1. Зростання і спадання функції
Рішення різних завдань з області математики, фізики та техніки призводить до встановлення функціональної Залежно між що беруть участь в даному явищі змінними величинами. Якщо таку функціональну залежність можна виразити аналітично, тобто у вигляді однієї або декількох формул, то з'являється можливість досліджувати її засобами математичного аналізу. Мається на увазі можливість з'ясування поведінки функції при зміні тієї або іншої змінної величини (де функція зростає, де убуває, де досягає максимуму і т.д.). Застосування диференціального числення до дослідження функції спирається на досить просту зв'язок, який існує між поведінкою функції та властивостями її похідної, насамперед її першої та другої похідної.
Розглянемо спочатку, як можна знаходити інтервали зростання або зменшення функції, тобто інтервали її монотонності. У п. 8.2 було дано визначення монотонно спадної і зростаючої функції. Виходячи з цього, можна сформулювати прості теореми, дозволяють зв'язати значення першої похідної даної функції з характером її монотонності.
Теорема 1.1 . Якщо функція, що диференціюється на інтервалі, монотонно зростає на цьому інтервалі, то в будь-якій його точці; якщо вона монотонно убуває, то в будь-якій точці інтервалу .
Доказ. Нехай функція монотонно зросте на, значить, виходячи з визначення 8.2.2, для будь-якого достатньо малого виконується нерівність: (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Розглянемо межа. Якщо, то, якщо, то. В обох випадках вираз під знаком межі позитивно, значить, і межа позитивний, тобто, що і вимагалося довести. Аналогічно доводиться і друга частина теореми, пов'язана з монотонним убуванням функції.
Теорема 1.2 . Якщо функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках, і, крім того, для будь-якого, то дана функція монотонно зростає на; якщо для будь-якого, то дана функція монотонно убуває на .
Доказ. Візьмемо і , причому. По теоремі Лагранжа (п. 14.2), . Але і, значить,, тобто. Отриманий результат вказує на монотонне зростання функції, що й потрібно було довести. Аналогічно доводиться друга частина теореми.
2. Екстремуми функції
При дослідженні поведінки функції особливу роль грають точки, які відокремлюють один від одного інтервали монотонного зростання від інтервалів її монотонного убування.
Визначення 2.1 . Точка називається точкою максимуму функції, якщо для будь-якого, скільки завгодно малого,, а точка називається точкою мінімуму, якщо .
Точки мінімуму і максимуму мають загальну назву точок екстремуму. У кусочно-монотонної функції таких точок кінцеве число на кінцевому інтервалі (рис. 2.1).
Рис. 2.1
Теорема 2.1 (необхідне умова існування екстремуму) . Якщо дифференцируемая на інтервалі функція має в точці з цього інтервалу максимум, то її похідна в цій точці дорівнює нулю. Те ж саме можна сказати і про точку мінімуму .
Доказ цієї теореми випливає з теореми Ролля (п. 14.1), в якій було показано, що в точках мінімуму або максимуму, і дотична, проведена до графіка функції в цих точках, паралельна осі.
З теореми 2.1 випливає, що якщо функція має похідну у всіх точках, то вона може досягати екстремуму в тих точках, де .
Однак дана умова не є достатнім, оскільки існують функції, у яких зазначена умова виконується, але екстремуму немає. Наприклад, у функції в точці похідна дорівнює нулю, однак екстремуму в цій точці немає. Крім того, екстремум може бути в тих точках, де похідна не існує. Наприклад, у функції є мінімум в точці, хоча похідна в цій точці не існує.
Визначення 2.2 . Точки, в яких похідна функції звертається в нуль або терпить розрив, називаються критичними точками цієї функції .
Отже, теореми 2.1 недостатньо для визначення екстремальних точок.
Теорема 2.2 (достатня умова існування екстремуму) . Нехай функція неперервна на інтервалі, який містить її критичну точку, і дифференцируема у всіх точках цього інтервалу, за винятком, можливо, самої точки. Тоді, якщо при переході цієї точки зліва направо знак похідної змінюється з плюса на мінус, то це точка максимуму, і, навпаки, з мінуса на плюс - точка мінімуму .
Доказ. Якщо похідна функції змінює свій знак при переході точки зліва направо з плюса на мінус, то функція переходить від зростання до спадаючій, тобто сягає в точці свого максимуму і навпаки.
З вищесказаного випливає схема дослідження функції на екстремум:
1) знаходять область визначення функції;
2) обчислюють похідну;
3) знаходять критичні точки;
4) по зміні знака першої похідної визначають їх характер.
Не слід плутати задачу дослідження функції на екстремум із завданням визначення мінімального і максимального значення функції на відрізку. У другому випадку необхідно знайти не тільки екстремальні точки на відрізку, але і порівняти їх із значенням функції на його кінцях.
3. Інтервали опуклості і угнутості функції
Ще однією характеристикою графіка функції, яку можна визначати за допомогою похідної, є його опуклість або увігнутість.
Визначення 3.1 . Функція називається опуклою на проміжку, якщо її графік розташований нижче будь дотичної, проведеної до нього на даному проміжку, і навпаки, називається увігнутою, якщо її графік виявиться вище будь дотичній, проведеної до нього на даному проміжку .
Доведемо теорему, дозволяє визначати інтервали опуклості й увігнутості функції.
Теорема 3.1 . Якщо у всіх точках інтервалу друга похідна функції неперервна і негативна, то функція опукла і навпаки, якщо друга похідна неперервна і позитивна, то функція увігнута .
Доказ проведемо для інтервалу опуклості функції. Візьмемо довільну точку і проведемо в цій точці дотичну до графіка функції (рис. 3.1). Теорема буде доведена, якщо буде показано, що всі точки кривої на проміжку лежать під цією дотичній. Інакше кажучи, необхідно довести, що для одних і тих же значень ординати кривої менше, ніж ординати дотичної, проведеної до неї у точці.
Рис. 3.1
Для визначеності позначимо рівняння кривої:, а рівняння дотичної до неї в точці: або. Складемо різницю і:
.
Застосуємо до різниці теорему про середню Лагранжа (П. 14.2):
,
де.
Застосуємо тепер теорему Лагранжа до виразу в квадратних дужках:
,
де. У нашому випадку, як видно з рисунка,, тоді і. Крім того, за умовою теореми,. Перемножая ці три множника, отримаємо, що, як і вимагалося довести.
Визначення 3.2 . Точка, яка відокремлює інтервал опуклості від інтервалу угнутості, називається точкою перегину .
З визначення 3.1 випливає, що в даній точці дотична перетинає криву, тобто з одного сторони крива розташована нижче дотичної, а з іншого - вище.
Теорема 3.2 . Якщо в точці друга похідна функції дорівнює нулю або не існує, а при переході через точку знак другої похідної змінюється на протилежний, то дана точка є точкою перегину .
Доказ даної теореми випливає з того, що знаки по різні боки від точки різні. Значить, з одного боку від точки функція опукла, а з іншого - увігнута. У цьому випадку, згідно з визначенням 3.2, точка є точкою перегину.
Дослідження функції на опуклість і увігнутість проводиться за тією ж схемою, що і дослідження на екстремум.
4. Асимптоти функції
У попередніх пунктах були розглянуті методи дослідження поведінки функції за доп...
