Вища математика
Функції декількох змінних
Зміст
1. Поняття функції двох і більше змінних
2. Межа і неперервність функції двох змінних
3. Приватні похідні першого порядку. Повний диференціал
4. Приватні похідні вищих порядків
5. Екстремум функції декількох змінних. Необхідні і достатні умови існування екстремуму
6. Умовний екстремум
Література
1. Поняття функції двох і більше змінних
Багато явища, відбуваються в природі, економіці, суспільному житті не можна описати за допомогою функції однієї змінної. Наприклад, рентабельність підприємства залежить від прибутку, основних і оборотних фондів. Для вивчення такого роду залежностей і вводиться поняття функції декількох змінних.
У даній лекції розглядаються функції двох змінних, так як всі основні поняття і теореми, сформульовані для функцій двох змінних, легко узагальнюються на випадок більшого числа змінних.
Нехай - множина впорядкованих пар дійсних чисел.
Визначення 1. Якщо кожної впорядкованої парі чисел по деякому закону поставлено у відповідність єдине дійсне число, то кажуть, що задана функція двох змінних або . Числа називаються при цьому незалежними змінними або аргументами функції, а число - залежної змінної.
Наприклад, формула, що виражає обсяг циліндра, є функцією двох змінних: - радіусу підстави і - висоти.
Пару чисел іноді називають точкою, а функцію двох змінних - Функцією точки.
Значення функції в точці позначають або й називають приватним значенням функції двох змінних.
Сукупність усіх точок, в яких визначена функція, називається областю визначення цієї функції. Для функції двох змінних область визначення являє собою всю координатну площину або її частину, обмежену однією або декількома лініями.
Наприклад, область визначення функції - вся площина, а функції - одиничний круг з центром на початку координат (або.
2. Межа і неперервність функції двох змінних
Поняття межі і безперервності функції двох змінних аналогічні нагоди однієї змінної.
Нехай - довільна точка площині. - Околом точки називається множина всіх точок, координати яких задовольняють нерівності. Іншими словами, - околиця точки - це всі внутрішні точки кола з центром в точці і радіусом.
Визначення 2. Число називається границею функції при (або в точці), якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа існує (Залежне від) таке, що для всіх і задовольняють нерівності виконується нерівність.
Позначається межа наступним чином:
або.
Приклад 1. Знайти межа.
Рішення. Введемо позначення, звідки. При маємо, що. Тоді
.
Визначення 3. Функція називається безперервної в точці, якщо: 1) визначена в точці і її околиці; 2) має кінцевий межа; 3) ця межа дорівнює значенню функції в точці, тобто .
Функція називається безперервної в деякої області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.
Точки, в яких умова безперервності не виконується, називаються точками розриву цієї функції. В деяких функціях точки розриву утворюють цілі лінії розриву. Наприклад, функція має дві лінії розриву: вісь () і вісь ().
Приклад 2. Знайти точки розриву функції.
Рішення. Дана функція не визначена в тих точках, в яких знаменник перетворюється на нуль, тобто в точках, де або. Це коло з центром на початку координат і радіусом. Значить, лінією розриву вихідної функції буде окружність.
3. Приватні похідні першого порядку. Повний диференціал
Нехай задана функція двох змінних. Дамо аргументу приріст, а аргумент залишимо незмінним. Тоді функція одержить приріст, який називається приватним прирощенням по змінної і позначається:
.
Аналогічно, фіксуючи аргумент і надаючи аргументу пріращена-ня, отримаємо приватне приріст функції по змінній:
.
Величина називається повним приро-щенііем функції в точці.
Визначення 4. Приватної похідної функції двох змінних по одній із цих змінних називається границя відношення відповідного приватного приросту функції до приросту даної змінної, коли останнє прагне до нуля (якщо ця межа існує). Позначається приватна похідна так: або , Або.
Таким чином, по визначенням маємо:
,
.
Приватні похідні функції обчислюються за тими ж правилам і формулами, що і функція однієї змінної, при цьому враховується, що при диференціюванні по змінній, вважається постійною, а при диференціюванні по змінній постійної вважається.
Приклад 3. Знайти приватні похідні функцій:
а), б).
Рішення. а) Щоб знайти вважаємо постійною величиною і диференціюємо як функцію однієї змінної:
.
Аналогічно, вважаючи постійною величиною, знаходимо:
.
Рішення.
б);
.
Визначення 5. Повним диференціалом функції називається сума творів приватних похідних цієї функції на прирощення відповідних незалежних змінних, тобто
.
Враховуючи, що диференціали незалежних змінних співпадають з їх приростами, тобто , Формулу повного диференціала можна записати у вигляді
або.
Приклад 4. Знайти повний диференціал функції.
Рішення. Так як, то за формулою повного диференціала знаходимо
.
4. Приватні похідні вищих порядків
Приватні похідні і називають приватними похідними першого порядку або першими частинними похідними.
Визначення 6. Приватними похідними другого порядку функції називаються приватні похідні від приватних похідних першого порядку.
Приватних похідних другого порядку чотири. Вони позначаються наступним чином:
або; або;
або; або.
Аналогічно визначаються приватні похідні 3-го, 4-го і більш високих порядків. Наприклад, для функції маємо:
, і т. д.
Приватні похідні другого або більш високого порядку, взяті по різним змінним, називаються змішаними приватними похідними. Для функції такими є похідні. Зауважимо, що в випадку, коли змішані похідні неперервні, то має місце рівність.
Приклад 5. Знайти приватні похідні другого порядку функції
.
Рішення. Приватні похідні першого порядку для даної функції знайдені в прикладі 3:
Диференціюючи і по змінним х і y, отримаємо
,
;
;
.
5. Екстремум функції декількох змінних. Необхідні і достатні умови існування екстремуму
Визначення 7. Точка називається точкою мінімуму (Максимуму) функції, якщо існує така околиця точки, що для всіх точок з цієї околиці виконується нерівність, ().
Точки мінімуму і максимуму функції називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках - екстремумами функції (мінімумом і максимумом відповідно).
Зауважимо, що мінімум і максимум функції мають локальний характер, так як значення функції в точці порівнюється з її значеннями в точках, достатньо близьких до.
Теорема 1 (необхідні умови екстремуму). Якщо - точка екстремуму функції, що диференціюється, то її приватні похідні і в цій точці дорівнюють нулю:.
Точки, в яких приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю, називаються критичними або стаціонарними. У критичних точках функція може мати екстремум, а може і не мати.
Теорема 2 (достатня умова екстремуму). Нехай функція: а) визначена в деякій околиці критичної точки, в якій і; б) має безперервні приватні похідні другого порядку. Тоді, якщо, то функція в точці має екстремум: максимум, якщо А <0; мінімум, якщо А> 0; якщо, то функція в точці екстремуму не має. В випадку питання про наявність екстремуму залишається відкритим.
При дослідженні функції двох змінних на екстремум рекомендується використовувати таку схему:
1. Зн...
