РЕФЕРАТ
"Власні вектора і власні значення лінійного оператора "
Поняття власні вектори і власні значення
Перед тим як визначити поняття власні вектора, покажемо його на наочному прикладі. На малюнку 1, червоним кольором позначений власний вектор. Він, на відміну від синього, при деформації не змінив напрямок і довжину, тому є власним вектором, відповідним власному значенню О» = 1. Будь вектор, паралельний червоному вектору, також буде власним, відповідним тому ж власному значенню. Безліч всіх таких векторів (разом з нульовим) утворює власне підпростір.
Рис. 1
Визначення. Ненульовий вектор x називається власним вектором лінійного оператора, якщо знайдеться таке число О», зване власним значенням лінійного оператора, що
(x) = О» В· x (1)
Рівність (1) означає, що вектор x, підданий дії лінійного оператора, множиться на число О». З'являється колінеарний вектор. Серед векторів лінійного векторного простору можуть існувати такі, вплив оператора на які перекладає ці вектори в Колінеарні самим собі. Якщо на таких векторах побудувати базис, перетворення лінійної алгебри значно спростяться.
Не всякий лінійний оператор володіє власними векторами. Наприклад, в геометричній площині R 2 оператор повороту на кут, не кратний ПЂ, не має жодного власного вектора, оскільки ні один ненульовий вектор після повороту не залишиться колінеарності самому собі.
Вирішимо задачу знаходження власних векторів оператора. Запишемо рівність (1) в матричній формі:
P В· X = О» В· X
Перетворимо матричне рівняння:
P В· X - О» В· X = 0 або (P - О» В· E) X = 0
Матричне рівняння завжди має нульове рішення:
X = 0 =
Для існування ненульових рішень ранг матриці коефіцієнтів повинен бути менше числа змінних r
| P - О» В· E | = 0 (2)
Розписавши рівняння (2) відносно О» докладніше, отримаємо
| P - О» В· E | =
Розкривши визначник, отримаємо рівняння n-й ступеня щодо О»:
Яке називається характеристичним рівнянням оператора. Корені рівняння називаються характеристичними або власними числами оператора. Безліч всіх власних чисел оператора називається спектром цього оператора. Многочлен лівій частині рівняння називається характеристичним многочленом.
Вирішивши характеристичне рівняння, отримуємо власні числа О» 1 , О» 2 , ..., О» n . Для кожного знайденого власного значення О» i знайдемо ненульові вектори ядра оператора P - О» i E . Саме вони будуть власними векторами, відповідними власному значенню О» i . Іншими словами, необхідно вирішити однорідну систему рівнянь (P - О» i E ) X = 0. Її спільне рішення дає всю сукупність власних векторів, що відповідають О» i .
Загальне рішення однорідної системи, як відомо, структуровано. Воно являє собою лінійну комбінацію фундаментального набору лінійно незалежних рішень (векторів). Число лінійно незалежних векторів у фундаментальному наборі називається геометричною кратністю власного значення О» i . Вводиться також алгебраїчна кратність - кратність О» i як кореня характеристичного многочлена.
Незалежність власних векторів
Існування лінійно незалежних векторів серед власних, що відповідають різним власним числам О» 1 , О» 2 , ..., О» n , визначається наступною теоремою.
Власні вектори x 1 , x 2 , ... , x n оператора, що відповідають різним власним значенням О» 1 , О» 2 , ..., О» n , лінійно незалежні.
На n лінійно незалежних власних векторах можна побудувати базис n-мірного лінійного векторного простору.
Зауваження. Визначник матриці P - О» E (відповідно характеристичний многочлен) не залежить від вибору базису.
| P '- О» E | = | T -1 PT - О» E | = | T -1 PT- О» T -1 E T | = | T -1 P- О» E T | = | T -1 | | P- О» E T | | T | = | P- О» E T |
Отже, при переході до нового базису власні числа зберігаються.
Приклад. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею P = в просторі R 2 .
Рішення. Складемо характеристичне рівняння:
| P - О» В· E | == О» 2 -5 О» +4 = 0
З квадратного рівняння знайдемо власні значення лінійного оператора О» 1 = 1, О» 2 = 4. Щоб знайти власні вектори, вирішимо матричні рівняння:
(P - О» 1 E ) X = 0 і (P - О› 2 E ) X = 0
У розгорнутому вигляді
і
Відповідні однорідні системи:
Загальні рішення систем:
і, де з 1 , з 2 є R
Таким чином, безліч власних векторів, що відповідають власним значенням О» 1 = 1, О» 2 = 4, має вигляд;, де з 1 , з 2 є R. Вектори a 1 = (1, 1), a 2 = (-2, 1), наприклад, є лінійно незалежними. Вони можуть бути прийняті в якості нового базису в просторі R 2 .
Нехай e 1 , e 2 , ..., e n - власні вектори лінійного оператора в просторі R n , які приймемо в якості базису. Тоді розкладання векторів (e 1 ), (e 2 ), ..., (e n ) по базису e 1 , e 2 , ..., e n прийме вигляд
Звідси випливає, що a ij = О» i , якщо i = j і a ij = 0, якщо i в‰ j. Тому в базисі, складеному з власних векторів, матриця оператора буде мати діагональний вигляд:
Симетричний оператор
Визначення. Лінійний оператор в евклідовому просторі R n називається симетричним, якщо для будь-яких векторів x і y з простору R n виконується рівність
((x), y) = (x, (y))
Для того щоб лінійний оператор був симетричний, необхідно і достатньо, щоб його матриця в ортонормированном базисі була симетрична.
Розглянемо для простоти евклідів простір R 2 . Нехай в ортобазісе e 1 , e 2 задані вектори x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ). Лінійні оператори 1 і 2 визначені своїми матрицями:
і.
Обчислимо вектори 1 (x) і 2 (y):
,
.
Знайдемо скалярні твори ((x), y) і (x, (y))...
