МІНІСТЕРСТВО освіти и науки України
Дніпропетровський національний університет
механіко-математичний факультет
Кафедра математичного аналізу
дипломних роботах БАКАЛАВРА
теореми Чеви І Менелая ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
Виконавець Керівник роботи
студентка групи ММ-01-1 к.ф.-м.н., доцент
Бондаренко Н.С. Поляков О.В.
Допускається до ЗАХИСТУ
Завідувач кафедрою Рецензент
доктор фіз.-мат. наук, професор к.ф.-м.н., доцент
Бабенко В.Ф. Велікін В.Л.
м. Дніпропетровськ
2006 р.
РЕФЕРАТ
Дипломна робота містіть 87 стор., 54 рис., 20 джерел.
Про ' єктом Дослідження є теореми Чеви та Менелая на площіні та в просторі.
Мета роботи - Вивчення теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведення нетрівіальніх НАСЛІДКІВ ціх теорем та розв'язання задач двома способами: традіційнім и за допомог теорем Чеви та Менелая.
Одержані Висновки та їх новизна - теорема Менелая дозволяє знаходіті відношення відрізків, а кож доводіті належність трьох точок одній прямій. Теореми Чеви та їх Наслідки вікорістовується при розв'язуванні задач про трійкі прямих, Що проходять через одну точку, а кож при доведенні теорем про перетин трійок прямих в одній точці. Розглянуто аналоги теорем Чеви та Менелая в просторі. В діпломній роботі розв'язано 50 задач.
Результати досліджень можут буті застосовані при вікладанні тими "теореми Чеви та Менелая" в математичних класах середніх шкіл, гімназіях та ліцеях, при позакласній роботі з учнямі (на Заняття математичних гуртків, при проведенні математичних олімпіад, для індівідуальної роботи з найбільш здатно учнямі).
Перелік ключовими слів: ТЕОРЕМА Чеві, ТЕОРЕМА Менелая, трикутник, ТЕТРАЕДР, точка, пряма, СІЧНА, ВІДРІЗОК.
ANNOTATION
This degree thesis of the 5 th year student (DNU, Faculty of Mechanics and Mathematics, Department of Mathematical Analysis) deals with Cheva's and Menelay's theorems. The work is interesting for the students and post-graduates students of mathematical specialties.
Bibliography: 20.
ЗМІСТ
ВСТУП
РОЗДІЛ 1. Теорема Менелая для трикутника
1.1 Орієнтовані відрізкі
1.2 Теорема Менелая
1.3 теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса
1.4 Застосування теореми Менелая для розв'язання задач
РОЗДІЛ 2. Теорема Менелая для тетраедра
РОЗДІЛ 3. Теореми Чеви для трикутника та тетраедра. Теорема Чеві в формі сінусів
3.1 теореми Чеви для трикутника, тетраедра, в формі сінусів
3.2 Застосування теорем Чеви для розв'язання задач
РОЗДІЛ 4. Теореми Чеви та Менелая на площині
ВИСНОВКИ
Список використаної літератури
ВСТУП
Геометрія почінається з трикутника. ЯКЩО взяти Шкільний підручник з геометрії, то мі побачімо, Що Перші змістовні теореми стосуються самє трикутника. Все попереднє - Ліше аксіомі, означенность або найпростіші з них Наслідки. На качанах свого Виникнення планіметрія Була "геометрією трикутника". "Геометрія трикутника" Може пишатися теоремами, які носять Ім'я Ейлера, Торрічеллі, Лейбніц. На рубежі 19-20 століть завдякі Великій кількості робіт, прісвяченіх трикутнику, БУВ створеня Цілий Новий Розділ планіметрії - "Нова геометрія трикутника". Багато з ціх робіт зараз віглядають малоцікавімі, недосконалостей; термінологія, Яка вікорістовувалась в них Майже Забута ї зустрічається Тільки в енціклопедіях. Альо деякі теореми "Нової геометрії" продовжують жити й досі. Двома таким теоремам - Чеві та Менелая - присвяч дипломна робота.
теореми Чеви та Менелая можна назваті "двоїстімі" теоремами: смороду схоже формулюються ї доводящего, смороду взаємозамінюються при розв'язанні задач. Теореми Чеви та Менелая Корисні у випадка, коли необхідно "з'ясувати відношення" між точками та прямий, - Наприклад, довести, Що будь-які три Прямі перетінаються в одній точці, три крапки лежати на одній прямій та ін.
теореми Чеви та Менелая не входять в основний курс шкільної геометрії, Між тім смороду Прості, цікаві й застосовуються при розв'язанні Досить складаний завдань.
Дипломна робота присвяч розробці методики викладання тими "теореми Чеви та Менелая та їх застосування ".
Работа Складається Із вступити, 4 розділів, вісновків та списку використаної літератури. Коженов Розділ побудовано за такою структурою. На качанах розділу наводитися необхідній теоретичність материал, потім викладу Задачі з доповідної розв'язання, а напрікінці наведено Задачі для Самостійної роботи з розв'язання та відповідямі.
У Першому розділі роботи "Теорема Менелая для трикутника" сформульовано й доведено теорему Менелая для трикутника, наведено нетрівіальні Приклади Використання теореми Менелая (доведено теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса), продемонстровано Ефективність Використання теореми на прикладі розв'язання задач двома способами: традіційнім и за допомог теореми Менелая.
В іншому розділі "Теорема Менелая для тетраедра" сформульовано й доведено аналог теореми Менелая в просторі, наведено Приклади розв'язання складаний стереометрічніх завдань.
У третьому розділі "теорема Чеві для трикутника та тетраедра. Теорема Чеві в формі сінусів "сформульовані теореми Чеви та Наслідки з них, наведено розв'язані Задачі.
У четвертому розділі "теореми Чеви та Менелая для площіні" наведено Інший підхід до формулювання теорем Чеви та Менелая.
Всього в роботі розв'язано 50 задач.
Дипломна робота Може буті Використана Викладач ліцеїв та гімназій при вікладанні спеціальніх курсів, а кож при підготовці учнів до олімпіад з математики.
РОЗДІЛ 1
ТЕОРЕМА Менелая ДЛЯ трикутник А
1.1 Орієнтовані відрізкі
Нехай на прямій задані відрізкі та. Розглянемо вектор та (дів. рис. 1). Зі шкільного курсу геометрії відомо, Що існує таке число, що. ЯКЩО, то вектор назівають однаково спрямованостей , а ЯКЩО, то говорять, Що вектор протилежних спрямовані (дів. рис. 1.1а та 1.1б відповідно).
а) б)
Рис. 1.1
При цьому відрізкі та мі будемо назіваті однаково спрямованостей, ЯКЩО и протилежних спрямованостей, ЯКЩО. Саме число будемо назіваті відношенням орієнтованих відрізків (при Це відношення є просто відношенням довжина відрізків, а при - відношенням довжина, взятих Зі знаком мінус).
В подалі ВСІ відношення увазі будемо розуміті Як відношення орієнтованих відрізків.
ЯКЩО відрізкі и лежати не на одній прямій, а на паралельних прямих, то кож можна Говорити про однаково и протилежних орієнтовані відрізкі и їхні відношення (дів. рис. 1.2).
Рис. 1.2
Наприклад, нехай і - точки площіні, а і - перпендикуляри, опущені з ціх точок на Деяк пряму (дів. рис. 1.3).
Рис. 1.3
Тоді, ЯКЩО точки и лежати по один бік від прямої, то відрізкі ї орієнтовані однаково (дів. рис. 1.3а), а ЯКЩО по Різні Сторони - Протилежних (дів. рис. 1.3б), при цьому в обох випадка.
Зазначемо Такі важліві Властивості відношень:
1) 2).
Нехай тепер на прямій задана галі третя точка -. На малюнку 1.4 показано, якімі можут буті відношення в залежності від положення точки на прямій. Так, ЯКЩО лежить на відрізку, то; ЯКЩО точка лежить ліворуч від точки, то; ЯКЩО точка лежить праворуч від точки, то.
Отже, задаючі відношення орієнтованих відрізків мі однозначно візначаємо положення точки на прямій.
