Реферат
на тему:
"Теореми Ролля, Коші, Лагранжа. Правило Лопіталя "
1. Теорема Ролля
Знання похідної деякої функції дозволяє судити про характерні особливості в поведінці цієї функції. В основі всіх таких досліджень лежать деякі прості теореми, звані теоремами про середнє в диференціальному обчисленні.
Почнемо розгляд таких теорем з теореми, яку пов'язують з ім'ям французького математика Ролля (1652-1719).
Теорема 1.1. Якщо функція неперервна на відрізку, дифференцируема у всіх його внутрішніх точках, а на кінцях відрізка, звертається в нуль, то існує, принаймні, одна точка, в якій .
Доказ. Так як функція неперервна на відрізку, то, відповідно до властивості 11.1.1, вона повинна досягати хоча б один раз на цьому відрізку свого мінімуму і максимуму (рис. 1.1).
Якщо, функція постійна, то є. Але в цьому випадку для будь-якого.
У загальному випадку, і хоча б одне з цих чисел не дорівнює нулю. Припустимо для визначеності, що. Тоді існує точка, в якій.
Рис. 1.1
Так як аналізоване значення є максимальним, то для нього справедливо, що для і.
Розглянемо межі
для
і
для.
Так як обидва межі дорівнюють похідної функції в одній і тій же точці, то вони рівні між собою. Значить, з одночасності і випливає, що, як і вимагалося довести.
Слід зазначити, що дана теорема справедлива і в тому випадку, коли на кінцях відрізка функція не звертається в нуль, але приймає рівні значення. Доказ проводиться аналогічно.
Геометричний зміст даної теореми наступний: якщо безперервна крива перетинає вісь у двох точках, або приймає в них рівні значення, то, принаймні, в одній точці між і дотична до кривої паралельна осі.
Необхідно відзначити, що якщо не в усіх точках у аналізованої функції існує похідна, то теорема може не виконуватися. Це стосується, наприклад, функції (рис. 1.2):
Рис. 1.2
Дана функція неперервна на відрізку і звертається в нуль на його кінцях, але ні в одній точці всередині відрізка похідна не дорівнює нулю.
2. Теорема Лагранжа
Результати теореми Ролля використовуються при розгляді наступної теореми про середню, що належить Лагранжа (1736-1813).
Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках, то існує, принаймні, одна точка, в якій .
Доказ. Розглянемо графік функції (рис. 2.1).
Проведемо хорду, з'єднує точки і, і запишемо її рівняння. Скориставшись рівнянням прямої, що проходить через дві точки на площині, отримаємо:
,
звідки:
Рис. 2.1
і.
Складемо тепер допоміжну функцію, вирахувавши з рівняння кривої рівняння хорди:
.
Отримана функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках. Крім того, обчислення в точках і показує, що. Значить, функція на відрізку задовольняє вимогам теореми Ролля. Але в цьому випадку існує така точка, в якій.
Обчислимо похідну функції:
.
Згідно з теоремою Ролля в точці похідна, то є і
,
що й потрібно довести.
Геометричний зміст теореми Лагранжа наступний: всередині відрізка існує, принаймні, одна точка, в якій дотична паралельна хорді, стягивающей криву на даному відрізку. Зокрема, при теорема переходить в теорему Ролля.
Теорему Лагранжа часто записують у наступному вигляді:
,
тобто прирощення функції одно приросту аргументу, помноженому на похідну функції в деякої внутрішньої точці. У зв'язку з цим теорему Лагранжа називають також теоремою про кінцевих прирости.
3. Теорема Коші
Розглянемо, нарешті, Третя теорія про середню, що належить Коші (1789-1859), яка є узагальненням теореми Лагранжа.
Теорема. Якщо функції і безупинні на відрізку і діфференцируєми у всіх його внутрішніх точках, причому не звертається в нуль в жодній із зазначених точок, то існує, по крайней мірі, одна точка, в якій .
Доказ. Так як у всіх точках, то звідси випливає, що. В іншому випадку, як випливає з теореми Ролля, існувала хоча б одна точка, в якій.
Складемо допоміжну функцію
.
Дана функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках. Крім того, обчислення її в точках і дає:. Значить, функція задовольняє вимогам теореми Ролля, тобто існує хоча б одна точка, в якій.
Обчислимо похідну:
.
З умови випливає, що
і,
що й потрібно довести.
У випадку, коли, теорема Коші переходить в формулювання теореми Лагранжа.
4. Правило Лопіталя
На підставі теореми Коші про середню можна отримати зручний метод обчислення деяких меж, званий правилом Лопіталя (1661-1704).
Теорема. Нехай функції і безупинні і діфференцируєми у всіх точках полуінтервала і при спільно прагнуть до нуля або нескінченності. Тоді, якщо відношення їх похідних має межу при, то цей же межа має відношення і самих функцій, тобто .
Проведемо доказ даної теореми тільки для випадку, коли. Так як межі в обох функцій однакові, то доопределить їх на відрізку, поклавши, що при виконується рівність.
Візьмемо точку. Так як функції і задовольняють теоремі Коші (П. 2.14), застосуємо її на відрізку:
, де.
Так як, то
.
Перейдемо в даному рівності до границі:
.
Але якщо, то і, що знаходиться між точками і, буде прагне до, значить
.
Звідси, якщо, то і, тобто
,
що й потрібно довести.
Якщо при, то знову виходить невизначеність виду і правило Лопіталя можна застосовувати знову, тобто
Доказ правила Лопіталя для випадку проводиться складніше, і ми його розглядати не будемо.
При розкритті невизначеностей типу,,,, правило Лопіталя застосовувати безпосередньо не можна. Спочатку всі ці невизначеності необхідно перетворити до вигляду або.
Правило Лопіталя може бути використано при порівнянні зростання функцій, у разі коли. Найбільший практичний інтерес тут представляють функції,,. Для цього знайдемо межі їх відносин:
1), значить, зростає швидше, ніж;
2), значить, зростає швидше, ніж;
3), значить, зростає швидше, ніж.
Звідси випливає, що найшвидше зростає, потім і, нарешті,.
Література
1. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М., В«Вища школаВ» изд. 5, 1977.
2. Зайцев І.А. Вища математика. ДРОФА, 2005. - 400 с.
3. Краснов М. Вся вища математика т. 1 вид. 2. Едіторіал УРСС, 2003. - 328 с.
4. Краснов М.Л., Макаренко Г.І., Кисельов А.І., Шикін Є.В. Вся вища математика Інтегральне числення. Диференціальне числення функцій декількох змінних. Диференціальна геометрія Том 2.: Підручник - 3-е изд. ЛКИ, 2007.
5. Мироненко Е.С. Вища математика. М: Вища школа, 2002. - 109 с.
