Федеральне агентство з освіти
Державне освітня установа вищої професійної освіти Санкт-Петербурзький державний гірничий інститут ім. Г.В.Плеханова
(технічний університет)
А.П. Господаріков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян
Ряди Фур'є. Інтеграл Фур'є. Операційне числення
Навчально-методичний посібник
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2005
УДК 512 + 517.2 (075.80)
ББК 22.161.5
Г723
Навчально-методичний посібник дає можливість отримати практичні навички аналізу функцій за допомогою розкладу в ряд Фур'є або подання інтегралом Фур'є і призначено для самостійної роботи студентів денної та заочної форм навчання спеціальностей.
У посібнику розглянуто основні питання операційного числення та широкий клас технічних завдань із застосуванням основ операційного числення.
Науковий редактор проф . А.П. Господаріков
Рецензенти: кафедра вищої математики № 1 Санкт-Петербурзького державного електротехнічного університету; доктор фіз.-мат. наук В.М. Чистяков (Санкт-Петербурзький державний політехнічний університет).
Господаріков А.П.
Г723. Ряди Фур'є. Інтеграл Фур'є. Операційне числення: Навчально-методичний посібник/ А.П. Господаріков , Г.А. Колтон , С.А. Хачатрян ; Санкт-Петербурзький державний гірничий інститут (технічний університет). СПб, 2005. 102 з.
ISBN 5-94211-104-9
УДК 512 + 517.2 (075.80)
ББК 22.161.5
Введення
З теорії Фур'є відомо, що при деякому впливі на фізичні, технічні та інші системи, його результат повторює форму початкового вхідного сигналу, відрізняючись тільки масштабним коефіцієнтом. Зрозуміло, що на такі сигнали (їх називають власними) система реагує найбільш простим чином. Якщо довільний вхідний сигнал є лінійна комбінація власних сигналів, а система лінійна, то реакція системи на цей довільний сигнал є сума реакцій на власні сигнали. І тому повну інформацію про систему можна отримати по В«цеглинціВ» - відгукам системи на власні вхідні сигнали. Так поступають, наприклад, в електротехніці, коли вводять частотну характеристику системи (передатну функцію). Для найбільш простих лінійних, інваріантних під часу систем (наприклад, описуваних звичайними диференціальними рівняннями з постійними коефіцієнтами) в деяких випадках власними функціями є гармоніки виду. Таким чином можна отримати і результат довільного впливу на систему, якщо останній буде представлений у вигляді лінійної комбінації гармонік (у загальному випадку, у вигляді ряду Фур'є або інтеграла Фур'є). Ось одна з причин, по якій в теорії та додатках виникає потреба застосування поняття тригонометричного ряду (ряду Фур'є) або інтеграла Фур'є.
Глава 1. Ряди Фур'є
В§ 1. Векторні простори
Тут наведені короткі відомості з векторної алгебри, необхідні для кращого розуміння основних положень теорії рядів Фур'є.
Розглянемо безліч W геометричних векторів (векторне простір), для якого звичайним чином введені поняття рівності векторів, лінійні операції (додавання і віднімання векторів, множення вектора на число) і операції скалярного множення векторів.
Введемо в просторі W ортогональний базис, що складається з трьох попарно ортогональних векторів, і. Довільний вектор є лінійною комбінацією векторів базису:
. (1.1)
Коефіцієнти l i ( i = 1, 2, 3), звані координатами вектора відносно базису, можуть бути визначені наступним чином. Скалярний добуток вектора і одного з векторів базису
.
В силу ортогональності базису скалярні твори при, отже, в правій частині останнього рівності відмінно від нуля лише один доданок, відповідне, тому, звідки
, (1.2)
де.
Якщо вектори і задані своїми координатами і, то їх скалярний добуток
.
Так як при скалярний твір, то в подвійній сумі відмінні від нуля лише доданки з рівними індексами, тому
. (1.3)
Зокрема при з (1.3) слід
. (1.4)
В§ 2. Скалярний добуток і норма функцій
Позначимо символом безліч функцій, кусково-неперервних на проміжку [ a , b ], тобто функцій, що мають на проміжку [ a , b ] кінцеве число точок розриву першого роду і безперервних у всіх інших точках цього проміжку.
Скалярним твором функцій називається число
.
Властивості скалярного добутку функцій повністю збігаються з властивостями скалярного добутку векторів:
1. .
2. .
3. .
4. ;.
Таким чином, скалярний добуток лінійно залежить від своїх компонентів. Це властивість називається білінійної скалярного твори.
Функції називаються ортогональними на [ a, b ], якщо .
Нормою функції на проміжку [ a , b ] називається невід'ємне число, квадрат якого дорівнює скалярному твору функції на себе:
.
Властивості норми функції багато в чому збігаються з властивостями модуля вектора:
1. .
2. Якщо функція неперервна на [ a , b ] і, то. Так як, то при
,
звідки. Диференціюючи останнім співвідно-шення по і застосовуючи теорему Барроу, отримаємо і, сле-послідовно,.
3. теорема косинусів
. .
Слідство. Якщо, то (теорема Піфагора).
4. Узагальнена теорема Піфагора. Якщо функції ( k == 1, 2, ..., n ) попарно ортогональні на проміжку, то
.
Використовуючи властивість білінійної скалярного добутку, отримаємо
.
В силу ортогональності функцій скалярні твори при, тому
.
5. нерівність Коші - Буняковського , або, що те ж саме,
.
При будь-яких речових
.
Таким чином, квадратний тричлен у лівій частині останнього нерівності зберігає знак на всій речовій осі, отже, його дискримінант.
Вправа 1. Довести властивості скалярного добутку функцій 1-3.
Вправа 2. Показати справедливість наступних тверджень:
а) функція ортогональна функцій і на проміжку при будь-яких цілих k і m
б) при будь-яких цілих k і m функції і ортогональні на проміжку;
в) функції і, а також і при ортогональні на проміжках і;
г) функції і не ортогональні на проміжку.
Вправа 3. Використовуючи властивість норми 5, довести нерівність трикутника
.
В§ 3. Ортогональні системи функцій. Коефіцієнти Фур'є. Ряд Фур'є
Зліченна безліч безперервних на проміжку функцій утворюють на цьому проміжку ортогональну систему, якщо
1. , 2. при.
Нехай - ортогональна система функцій на проміжку і. За аналогією з (1.2) утворюємо величини
, (3.1)
де.
Числа називаються коефіцієнтами Фур'є функції відносно ортогональної системи.
Ряд
(3.2)
називається рядом Фур'є для функції.
На відміну від того, що має місце в векторної алгебри [см. (1.1)], тут не можна стверджувати ні того, що сумою ряду Фур'є (3.2) є задана функція, ні навіть того, що ряд (3.2) взагалі сходиться. Тим не менш, часткові суми ряду (3.2), звані поліномами Фур'є, відіграють важливу роль в задачі апроксимації функції лінійними комбінаціями функцій.
Терміном апроксимація будемо позначати заміну заданої функції іншої, близької до, функцією, більш простий або більш зручною для дослідження. При цьому, природно, виникає п...
