Випускна кваліфікаційна робота
В«Символ ОВ»
Зміст
Введення ...................................................................
Глава 1. Символ Про ........................................................
В§ 1. Основні визначення, приклади .............................
В§ 2. Основні співвідношення .........................................
В§ 3. Рішення задач ....................................................
Глава 2. Додатки символу Про .......................................
В§ 1. Асимптотичне рішення трансцендентних рівнянь дійсного змінного .................................
В§ 2. Асимптотичне рішення інтегралів ......................
В§ 3. Асимптотичне обчислення суми ряду .................
Література ..................................................................
стр. 3
стр. 5
стр. 5
стр. 9
стр. 14
стр. 18
стр. 18
стр. 22
стр. 24
стр. 26
Введення
Слово асимптотика має грецьке походження і буквально означає В«ніколи не з'єднуютьсяВ». Вивчаючи конічні перетини, давньогрецькі математики розглядали, зокрема, гіперболи, такі, як графік функції,
має прямі y = x і y = - x своїми В«асимптотамиВ». При крива наближається до асимптоти, але ніколи не стикається з ними. У наші дні слово В«АсимптотикаВ» використовується в більш широкому сенсі для позначення будь наближеною величини, яка стає все більш точної в міру наближення деякого параметра до граничного значення.
Точні рішення, якщо їх вдається отримати, - це чудово: остаточна відповідь викликає почуття глибокого задоволення. Але і наближене значення іноді виявляється в ціні.
У 1894 році Пауль Бахман придумав позначення для асимптотичного аналізу. У наступні роки його популярності сприяли Едмунд Ландау та ін Ми зустрічаємо це позначення в формулах на зразок:
, (1.1)
яка говорить нам, що n -е гармонійне число дорівнює натуральному логарифму n плюс константа Ейлера плюс деяка величина, яка становить В« Про велике від 1 на n В». Ця остання величина точно не визначена, проте, якою б вона не була, позначення В« Про В» дозволяє стверджувати, що вона не перевершує константу, помножену на 1/ n .
Величину Про (1/ n ) можна вважати пренебрежимо малої, якщо тільки нас не цікавлять величини, відрізняються від 1/ n лише постійним множником.
Додатка символу Про можна зустріти в різних областях математики, а також і у фізиці. Наприклад, в книзі Панченкова А.Н. В«Асимптотичні методи в екстремальних задачах механікиВ» розглядається застосування асимптотичних методів у вирішенні завдань аеродинаміки.
Мета дипломної роботи:
вивчити поняття В«Символ Про В» і показати його застосування.
Завдання:
1. Вивчити поняття В«Символ Про В», дати визначення.
2. Вивчити та довести основні співвідношення.
3. Показати застосування символу Про при вирішенні завдань.
4. Знайти застосування символу Про в різних областях математики.
На підставі поставлених цілей і задач кваліфікаційна робота розбита на дві глави.
Глава 1 В«Символ Про В» складається з трьох параграфів. У першому параграфі розглядаються основні визначення, наводяться приклади, у другому - формулюються твердження, наводяться їх докази, третій параграф присвячений вирішенню завдань.
Глава 2 В«Додатки символу Про В» висвітлює застосування символу Про , а саме, при вирішенні трансцендентних рівнянь, при обчисленні інтегралів, при знаходженні суми рядів.
Глава 1. Символ О.
В§ 1. Основні визначення, приклади
Визначення 1:
f ( n ) = O ( g ( n )) для всіх n ГЋ N (1.1.1)
означає, що існує така константа З , що
для всіх n ГЋ N ; (1.1.2)
а якщо позначення O ( g ( n )) використано всередині формули, то воно позначає функцію f ( n ), що задовольняє (1.1.2). Значення функції f ( n ) невідомі, але ми знаємо, що вони не надто великі.
Символ В« Про В» включає невизначену константу З , кожне входження Про може розуміти різні З , але кожна з цих констант не залежить від n .
Приклад 1: ми знаємо, що сума квадрат першого n натуральних чисел дорівнює
? n =.
Можна записати ? n = Про ( n 3 ),
так як для всіх цілих n . Можна отримати більш точну формулу
? n = Про ( n 2 ), так як
для всіх цілих n . Можна також недбало відкинути частина інформації і записати ? n = Про ( n 10 ).
Визначення Про не змушує нас давати найкращу оцінку.
Розглянемо приклад, коли змінна n - не целочисленная.
Приклад 2: , де х - дійсне число.
Тут вже не можна сказати, що S ( x ) = O ( x < sup> 3 ), так як відношення необмежено росте при х В® 0. Не можна також сказати, що S ( x ) = O ( x ), т.к . відношення необмежено росте, коли х прямує до нескінченності. Значить, ми не можемо використовувати символ В« Про В» для оцінки S ( x ).
Ця дилема дозволяється завдяки тому, що на змінні, використовувані з Про , звичайно накладаються які-небудь обмеження. Якщо, наприклад, ми поставимо умову, що, або що, де e - довільна позитивна константа, або що х - ціле число, то ми зможемо записати S ( x ) = O ( x 3 ). Якщо ж накладено умову або, де з - довільна позитивна константа, то в цьому випадку S ( x ) = O ( x ). В« Про великеВ» залежить від контексту, від обмежень на використовувані змінні.
Ці обмеження часто задаються у вигляді граничних співвідношень.
Визначення 2: співвідношення f ( n ) = O ( g ( n )) при n В® ВҐ означає, що існують дві константи З і n 0 , такі, що
при всіх n Ві n 0 . (1.1.3)
Зауваження 1 : Значення З і n 0 можуть бути різними для різних Про , але вони не залежать від n .
Визначення 3: запис f ( х ) = O ( g ( х )) при х В® 0 означає, що існують дві константи З і e , такі, що
, якщо тільки. (1.1.4)
Тепер Про представляє невизначену функцію і одну або дві невизначені константи, що залежать від контексту.
Зауваження 2 : запис коректна, але в цьому рівності не можна міняти місцями праву і ліву частини. В іншому випадку ми можемо прийти до безглуздих висновків, на зразок n = n 2 , виходячи з вірних тотожностей n = Про ( n 2 ) і n 2 = Про ( n 2 ).
