Симетрія молекул і кристалів
Перетворення симетрії
1. Симетрія тіла визначається сукупністю тих переміщень, які суміщають тіло з самим собою; про цих переміщеннях говорять як про перетвореннях симетрії. Кожне з можливих перетворень симетрії можна представить у вигляді комбінації одного або декількох з трьох основних типів перетворенні. Цими трьома суттєво різними видами перетворенні є:
1 - поворот тіла на певний кут навколо деякої осі;
2 - дзеркальне відображення в деякій площині;
3 - паралельний перенесення тіла на деяку відстань.
Останнім типом перетворень може мати лише нескінченна середу (кристалічна решітка). Тіло ж кінцевих розмірів (молекула) може бути симетрична тільки по відношенню до поворотів і віддзеркаленням.
2. Якщо тіло поєднується саме з собою при повороті навколо деякої осі на кут j = 2 p/ n , то така вісь називається віссю симетрії n -го порядку і позначається C n . Число n може мати різні цілі значення n = 2,3.4 ... Значення n = 1 відповідає повороту на кут 2 p/1 , або 0 , тобто відповідає тотожному перетворенню. Повторюючи операцію C n два, три і т.д. раз отримуємо поворот на кут 2 Г— 2 p/n , 3 Г— 2 p/n , ... і т.д. Ці повороти також поєднують тіло саме з собою і позначаються C n 2 , C n 3 і т.д. Очевидно, що якщо n кратно p , то C n p = C n /p . Зробивши перетворення n раз, ми повернемося в початкове положення, тобто виробимо тотожне перетворення, яке прийнято позначати символом Е .
3. Якщо тіло поєднується саме з собою при дзеркальному відображенні в деякій площині s, то така площина називається площиною симетрії. Операцію відображення зазвичай позначають також символом s . Очевидно, що дворазове відображення в одній площині є тотожне перетворення ss -1 = Е .
4. Одночасне застосування обох перетворень повороту і відображення приводимо до так званої дзеркально-поворотної осі S n . Тіло володіє дзеркально-поворотною віссю n -го порядку, якщо воно поєднується з самим собою при повороті навколо цієї осі на кут 2 p/n та подальшому відображенні в площині s h , перпендикулярної до цієї осі. Це новий вид симетрії, якщо n парне. Якщо n -непарне, то застосування цієї операції n раз дасть поворот на кут 2 p/n , а непарне відображення в площині дасть просте відображення. Тільки при парному n застосування n раз цієї операції дасть тотожне перетворення, тобто sS 2p 2p = E . Дзеркально-поворотний перетворення позначається S n . Оскільки при відображенні в площині s , перпендикулярній осі C n прийнято ставити індекс h при s площину позначається s h . Важливим випадком є дзеркально-поворотна вісь другого порядку S 2 . Легко зміркувати, що поворот на кут j з подальшим відображенням в площині s h , являє собою перетворення інверсії I , при якому відбувається відображення тіла в точці перетину осі C 2 і площини s h . I = S 2 = C 2 Г— s h ; I Г— s h = C 2 ; I Г— C 2 = s h , тобто C 2 , s h і I взаємно залежні: наявність будь-яких двох елементів призводить до існування третього.
5. Добуток двох поворотів навколо осей, що перетинають в точці А є також деякий обертання навколо осі, що проходить через точку А . Вісь обертання і кут результуючого руху визначаються осями і кутами вихідних поворотів. Добуток двох відображень s 1 і s 2 в пересічних під кутом j площинах, еквівалентно повороту навколо осі, що збігається з лінією перетину цих площин на кут 2 j , тобто s 2 s 1 = C (2j). Дійсно, множачи останнім рівність на s 2 , отримаємо s 1 = s 2 Г— C (2 j), тобто твір повороту на кут 2 j і відображення в площині, що проходить через цю вісь, еквівалентно відображенню в іншій площині, що перетинаються з першою під кутом j.
Інший важливий результат полягає в тому, що твори двох обертань на кут p довкола перетинаються під кутом j осей U і V еквівалентно обертанню навколо осі ММ , перпендикулярній площині, в якій знаходяться осі U і V , на кут 2 j = 2 (V, U). Дійсно, при двох кратному обертанні навколо U і V лінія ММ залишається в колишньому положенні, тобто це обертання навколо осі ММ . Для визначення кута обертання розглянемо саму вісь U . Обертання навколо U залишає її без змін, а обертання навколо V переводить її в нове положення U `, так що кут між старим U і новим U ` становищем дорівнює ( U U `) = 2 j.
Результат двох послідовних перетворень, взагалі кажучи, залежить від порядку, в якому ці операції проводяться, так що операції не комутується. При запису спочатку записується операція, яка проводиться другий. Однак, такі операції є коммутирующими:
1. Два обертання навколо однієї і тієї ж осі
2. Два відображення у взаємно перпендикулярних площинах - вони еквівалентні обертанню на кут p : Обертання і відображення в площині перпендикулярній цій осі C n s h = S n = s h C n (тобто обертальний відображення). Цю операцію можна розглядати як фундаментальную.4. Обертання на кут p довкола двох перпендикулярних осей : C 2 x Г— C 2 y = C 2 z .
5. Будь поворот C n , відображення s h та інверсія I (наслідок 1 і 3).
Ясно, що для кожної операції симетрії R , яку можна застосувати до нього, мається операція, що відрізняється від першої або ідентична їй, яка переводить тіло в початкове положення. Це зворотна операція R -1 R = Е
Операції симетрії
Розглядаючи симетрію будь-якої фігури, ми повинні серед усіх можливих обертанні і відображенні вибрати ті, які призводять фігуру до суміщення з собою. Ці рухи називаються операціями симетрії. Операції симетрії треба відрізняти від елементів симетрії. Осі обертання типу З n називаються n кратними. Дзеркально-поворотні осі називаються також осями другого роду. В силу попередніх співвідношення мають місце наступні твердження:
1. Перетин двох площин симетрії є вісь симетрії. Якщо кут між площинами p/n , то вісь є n -кратної, тобто поворот навколо цієї осі на кут 2 p/n поєднати тіло з самим собою.
2. Якщо площина симетрії містить n -кратним вісь, то існує ще n- 1 площин симетрії, що проходять через ту ж вісь, причому кут між площинами p/n . Окремий випадок: в...
