Дисципліна: Вища математика
Тема: Рішення довільних систем лінійних рівнянь
1. Рішення довільних систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Вище розглянуті рішення квадратних невироджених систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом і методом Крамера. Однак вони не придатні в тих випадках, коли квадратна система рівнянь вироджена або коли система взагалі не є квадратною.
У зв'язку з цим перейдемо до розгляду систем лінійних алгебраїчних рівнянь загального вигляду, коли:
В даному випадку матриця системи є прямокутною, у неї немає визначника, і метод Крамера для розв'язання системи не застосуємо. Тому, перш ніж вирішувати дану систему, розглянемо дві теореми.
Теорема 1.1. Якщо ранг матриці спільної системи лінійних алгебраїчних рівнянь дорівнює числу невідомих, то система має єдине рішення .
Доказ. Якщо ранг матриці системи дорівнює, тобто числу невідомих, то рядків у матриці повинно бути теж. Отже,. Отже, по умові . Але тоді будь, не що входить в базисний мінор, рядок розширеної матриці є лінійною комбінацією базисних рядків і може бути звернена в нуль. Те ж саме відбувається і з рівнянням, відповідним цьому рядку. Значить, вихідна система еквівалентна рівнянням з коефіцієнтами з базисного мінору. Решта рівнянь з системи можна прибрати, оскільки вони є лінійною комбінацією залишилися. Отримуємо квадратну невироджених систему лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими, яка згідно з правилом Крамера має єдине рішення, що і було потрібно довести.
Теорема 1.2. Якщо ранг матриці спільної системи лінійних алгебраїчних рівнянь менше числа невідомих, то система має безліч рішень .
Доказ. За умовою система сумісна і. Будемо вважати, що базисний мінор розташований в лівому верхньому куті розширеної матриці системи. Якщо це не так, то, переставляючи рядки і стовпці матриці, можна отримати потрібний результат.
Мінор буде мати вигляд:
.
Так як будь-який рядок матриці, яка не увійшла в базисний мінор, є лінійною комбінацією базисних, то її можна звернути в нуль. Тоді, за аналогією з теоремою 1.1, з вихідної системи можна прибрати ті рівняння, коефіцієнти яких не потрапили в базисний мінор. Отже, в ній залишиться лінійних алгебраїчних рівнянь і вихідну систему можна записати у вигляді:
або
Надаючи невідомим довільні значення, отримуємо систему з рівнянь з невідомими:
Дана система є квадратною, її визначник, тому з допомогою методу Крамера знаходимо єдине рішення. Очевидно, задаючи інші значення для, отримаємо інші значення невідомих.
Так як числа можуть бути задані довільно, то число рішень системи нескінченно. Якесь одне рішення буде мати вигляд:
.
Невідомі, коефіцієнти при яких входять у базисний мінор, називаються базисними. Решта невідомі називаються вільними.
2. Система однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь
Важливе місце серед усіх систем лінійних алгебраїчних рівнянь займають однорідні системи з довільними і:
Дані системи завжди сумісні, так як обов'язково мають рішення виду, яке називається нульовим або тривіальним.
Якщо, то, згідно теоремі 1.1, це рішення буде єдиним. Зокрема, у разі однорідної невиродженої квадратної системи її єдине рішення буде тривіальним.
У випадку, коли ранг матриці системи менше числа невідомих, то рішень, згідно теоремі 1.2, буде нескінченне безліч. Нехай у цьому випадку матриці - стовпці, , ..., Є деякими рішеннями системи:
,, ...,.
Тоді вираз буде називатися їх лінійною комбінацією. Очевидно, що можна ввести поняття лінійно залежною і лінійно незалежної системи цих рішень. Необхідно мати на увазі, що лінійна комбінація рішень системи лінійних алгебраїчних рівнянь також буде її рішенням. Дійсно,
.
Теорема. Якщо ранг матриці однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь менше числа невідомих, тобто, то існує лінійно незалежних рішень системи,, ...,, а будь-які інші рішення можна представити як їх лінійну комбінацію .
Доказ. Нехай ранг основної матриці системи. Тоді базисними невідомими будуть, а решта невідомих будуть вільними. У цьому випадку довільне рішення системи можна записати у вигляді:
.
Тут - довільні числа, а однозначно визначаються із системи для обраних.
Розглянемо наступних рішень системи:
,, ...,.
За аналогією з результатом п. 6.3 всі вони лінійно незалежні, і довільне рішення системи можна представити у вигляді:
,
що й потрібно було довести.
Визначення. Фундаментальною системою рішень однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь називається сукупність всіх її лінійно незалежних рішень .
Якщо у фундаментальній системі рішень вільні невідомі по черзі виражаються через одиницю, в той час як інші дорівнюють нулю, то така фундаментальна система рішень називається нормованою.
3. Метод Гаусса
Для вирішення довільних однорідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь зручний метод Гауса. Заснований він на наступному.
При обчисленні рангу розширеної матриці системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою елементарних перетворень її приводять до трапецеидальному увазі:
.
Але якщо вихідна матриця відповідає вихідній системі рівнянь, то трапецеїдальних матриця буде відповідати тій же системі, але в зміненому вигляді.
Особливість трапецеїдальної матриці полягає в тому, що кожна її наступна рядок має на один нуль більше і, відповідно, на один коефіцієнт не рівний нулю менше. Рядки, цілком складаються з нулів, відповідають зниклим рівнянням. В останньому рядку буде один коефіцієнт не рівний нулю і, значить, одна невідома в рівнянні для певної системи. У разі невизначеною системи в останньому рівнянні буде одна базисна змінна і кілька вільних.
Знаходячи цю базисну невідому з останнього рівняння, переходимо потім до передостанньому рядку і відповідному їй рівнянню і знаходимо наступну базисну невідому. Ця операція повторюється до першого рядка. Після обчислення всіх базисних невідомих складається нормована фундаментальна система рішень однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
4. Рішення неоднорідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь
З'ясуємо, чим відрізняється рішення довільної неоднорідної системи алгебраїчних рівнянь від вирішення однорідної системи.
Визначення. Однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь називається відповідної неоднорідною системі, якщо коефіцієнти при невідомих у них однакові, а вільні члени неоднорідної системи замінені нулями.
Розглянемо довільну спільну неоднорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
Нехай у неї в загальному випадку, тобто мається нескінченна безліч рішень.
Теорема 4.1. Сума будь-якого рішення неоднорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь з будь-яким рішенням відповідної їй однорідної системи є рішенням неоднорідної системи .
Доказ. Візьмемо довільне рішення неоднорідної системи
і довільне рішення відповідної їй однорідної системи
.
Розглянемо їх суму.
Якщо дана сума є рішенням неоднорідної системи, то вона повинна перетворити в тотожність будь-яке її рівняння:
що й потрібно було довести.
Теорема 4.2. Різниця будь-яких двох рішень неоднорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь є рішенням відповідної однорідної системи .
Доказ. Візьмемо два довільних рішення неоднорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
і.
Складемо їх різниця.
Підставимо отриману різницю у будь рівняння неоднорідної системи:
Так як ліва частина рівняння звернулася в нуль, значить, є рішенням однорідної системи, що й потрібно було довести.
З теореми 4.2 випливає, що якщо, то. Інакше кажучи, взявши якесь одне рішення неоднорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь та додаючи до нього різні рішення відповідної однорідної системи, одержимо різні рішення неоднорідної системи, що підтверджується теоремою 4.1.
Слідство. Загальне рішення неоднорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь дорівнює сумі якогось приватного її рішення і спільного рішення відповідної однорідної системи .
Література
1. Краснов М. Вся вища математика т.1 ізд.2. Едіторіал УРСС, 2003. - 328с.
2. Мироненко Е. С. Вища математика. М: Вища школа, 2002. - 109с.
3. Черненко В. Д. Вища математика в прикладах і задачах. У трьох томах. ПОЛІТЕХНІКА, 2003.
4. Шипачьов В. С. Вища математика ізд.7 Вид-во: ВИЩА ШКОЛА, 2005. - 479с.
