Введення
Реальні конфліктні ситуації призводять до різних видів ігор. Ігри розрізняються за цілою низкою ознак: за кількістю що беруть участь в них гравців, за кількістю можливих гравців, за кількістю можливих стратегій, за характером взаємин між гравцями, за характером виграшів, по виду функцій виграшів, за кількістю ходів, за характером інформаційної забезпеченості гравців і т.д. Розглянемо види ігор в залежності від їх розбиття:
В· За кількістю стратегій ігри поділяються на кінцеві (кожен з гравців має кінцеве число можливих стратегій) і нескінченні (де хоча б один з гравців має нескінченне число можливих стратегій).
В· За характером виграшів розрізняють ігри з нульовою сумою (загальний капітал гравців не змінюється, а перерозподіляється між гравцями в залежності від виходять фіналів) і гри з ненульовою сумою .
В· По виду функцій виграші ігри поділяються на матричні ( це кінцева гра двох гравців з нульовою сумою, в якій задається виграш гравця А у вигляді матриці (рядок матриці відповідає номером застосовуваної стратегії гравця В , стовпець - номера застосовуваної стратегії гравця В ; на перетині рядка і стовпця матриці знаходиться виграш гравця А , відповідний застосовуваним стратегіям.
Для матричних ігор доведено, що будь-яка з них має рішення, і воно може бути легко знайдено шляхом зведення гри до задачі лінійного програмування), біматричних гри (це кінцева гра двох гравців з ненульовою сумою, в якій виграші кожного гравця задаються матрицями окремо для відповідного гравця (у кожній матриці рядок відповідає стратегії гравця А , стовпець - стратегії гравця В , на перетині рядка і стовпця в Перша матриця знаходиться виграш гравця А , у другій матриці - виграш гравця В .
Для біматричних ігор також розроблена теорія оптимального поведінки гравців, однак вирішувати такі ігри складніше, ніж звичайні матричні безперервні гри ( Безперервної вважається гра, в якій функція виграшів кожного гравця є безперервною в залежності від стратегій. Доведено, що ігри цього класу мають рішення, однак не розроблено практично прийнятних методів їх знаходження), і т.д.
Можливі також і інші підходи до розбиття ігор. Тепер повернемося безпосередньо до теми дослідження, а саме до Теорії ігор. Для початку дамо визначення цьому поняттю.
Теорія ігор - розділ математики, вивчає формальні моделі ухвалення оптимальних рішень в умовах конфлікту. При цьому під конфліктом розуміється явище, в якому беруть участь різні сторони, наділені різними інтересами і можливостями вибирати доступні для них дії відповідно до цими інтересами. В умовах конфлікту прагнення противника приховати свої майбутні дії породжує невизначеність. Навпаки, невизначеність при прийнятті рішень (наприклад, на основі недостатніх даних) можна інтерпретувати як конфлікт приймаючого рішення суб'єкта з природою. Тому теорія ігор розглядається також, як теорія прийняття оптимальних рішень в умовах невизначеності. Вона дозволяє систематизувати деякі важливі аспекти прийняття рішень в техніці, сільському господарстві, медицині і соціології та інших науках. Беруть участь у конфлікті сторони називаються коаліціями дії; доступні для них дії - їх стратегіями; можливі результати конфлікту - ситуаціями.
Завдання теорії полягає в тому, що є:
1) оптимальним поведінкою в грі.
2) дослідження властивостей оптимального поведінки
3) визначення умов, при яких його використання осмислено (питання існування, єдиності, а для динамічних ігор і питання іменний спроможності).
4) побудова чисельних методів знаходження оптимального поведінки.
Теорія ігор, створена для математичного вирішення завдань економічного та соціального походження, не може в цілому зводитися до класичних математичним теоріям, створеним для вирішення фізичних і технічних завдань. Однак в різних конкретних питаннях теорія ігор широко використовуються досить різноманітні класичні математичні методи.
Крім цього, теорія ігор пов'язана з рядом математичних дисциплін внутрішнім чином. В теорії ігор систематично і по суті уживаються поняття теорії ймовірностей. На мові теорії ігор можна сформулювати більшість задач математичної статистики, і так як теорія ігор, пов'язана з теорією прийняття рішень, то вона розглядається як істотна складова частина математичного апарату дослідження операцій.
Математичне поняття гри надзвичайно широко. Воно включає в себе так звані салонні ігри (у тому числі шахи, шашки, гра ГО, карткові ігри, доміно), але може використовуватися і для опису моделей економічної системи з численними конкуруючими один з одним покупцями і продавцями. Не вдаючись у деталі, гру в загальних рисах можна визначити як ситуацію, в якій одна чи кілька осіб (В«гравцівВ») спільно управляють деякими безліччю змінних і кожен гравець, приймаючи рішення, повинен враховувати дії всієї групи. В«ПлатіжВ», який припадає на частку кожного гравця, визначається не тільки його власними діями, але й діями інших членів групи. Деякі з В«ходівВ» (індивідуальних дій) в ході гри можуть носити випадковий характер. Наочною ілюстрацією може служити відома гра в покер: початкова здача карт являє собою випадковий хід. Послідовність ставок і контрставок, попередня фінального порівнянні хабарів, утворена рештою ходами в грі.
математичної теорії ігор почалася з аналізу спортивних, карткових та інших ігор. Розповідають, що першовідкривач теорії ігор, видатний американський математик XX в. Джон фон Нейман прийшов до ідей своєї теорії, спостерігаючи за грою в покер. Звідси й сталося назву В«теорія ігорВ».
Почнемо дослідження даної теми з ретроспективного аналізу розвитку теорії ігор. Розглянемо історію та розвиток питання теорії ігор. Зазвичай В«Генеалогічне деревоВ» представляється у вигляді дерева в сенсі теорії графів, в яких розгалуження походить від деякого єдиного В«кореняВ». Родовід теорії ігор - книга Дж. фон Неймана і О. Моргенштерна. Тому історичний хід розвитку теорії ігор як математичної дисципліни, природним чином розчленовується на три етапи:
Перший етап - до виходу у світ монографії Дж. фон Неймана і О. Моргенштерна. Його можна назвати В«до монографічнимВ». На цьому етапі гра виступає поки ще як конкретне змагання, описуване своїми правилами в змістовних термінах. Лише в кінці його Дж. фон Нейман виробляє уявлення про гру як про загальну моделі абстрактного конфлікту. Підсумком цього етапу стало накопичення ряду конкретних математичних результатів і навіть окремих принципів майбутньої теорії ігор.
Другий етап становить сама монографія Дж. фон Неймана і
О. Моргенштерна В«Теорія ігор і економічна поведінку В»(1944), що об'єднала в собі більшість раніше отриманих (втім, по сучасним математичним масштабами досить нечисленних) результатів. Вона вперше представила математичний підхід до ігор (як у конкретній, так і в абстрактному розумінні цього слова) у вигляді систематичної теорії.
Нарешті, на третьому етапі теорія ігор у своєму підході до досліджуваних об'єктів мало чим відрізняється від інших розділів математики і розвивається значною мірою за загальними з ними закономірностям. При цьому, зрозуміло, істотний вплив на формування напрямів теорії ігор надає специфіка її практичних застосувань, як фактичних, так і можливих.
Однак навіть математична теорія ігор не здатна стовідсотково зумовити результат деяких конфліктів. Представляється можливим виділити три основні причини невизначеності результату гри (конфлікту).
перше, це ігри, в яких є реальна можливість дослідження всіх або, принаймні, більшості варіантів ігрового поведінки з них одного найбільш істинного, провідного до виграшу. Невизна...
