Гомельська науково-практична конференція школярів з математики, її додаткам та інформаційним технологіям В«ПошукВ»
Реферат на тему:
В«Медіани трикутникаВ»
Учнів:
9 'класу державного
установи освіти
В«Гомельська міська
Багатопрофільна гімназія № 14 В»
Морозової Єлизавети
Ходосівського Алеси
Науковий керівник-
Вчитель математики вищої категорії
Сафонова Алла Вікторівна
Гомель 2009
Зміст
Введення
1. Медіани трикутника та їх властивості
2. Відкриття німецького математика Г. Лейбніца
3. Застосування медіан в математичній статистиці
4. Медіани тетраедра
5. Шість доказів теореми про медіану
Висновок
Список використаних джерел та літератури
Додаток
Введення
Геометрія починається з трикутника. Ось вже два тисячоліття трикутник є як би символом геометрії, але він не символ. Трикутник - атом геометрії.
Трикутник невичерпний - постійно відкриваються його нові властивості. Щоб розповісти про всіх відомих його властивостях, необхідний тому порівнянний за обсягом з томом Великої енциклопедії. Ми хочемо розповісти про медіані трикутника та її властивості, а так само про застосування медіан.
Спочатку згадаємо, що медіана трикутника - це відрізок з'єднує вершини трикутника з серединою протилежної сторони. Медіани мають безліч властивостей. Але ми розглянемо одне властивість і 6 різних його доказів. Три медіани перетинаються в одній точці, яка називається центроїдів (центром мас) і діляться у відношенні 2:1.
Існує медіа не тільки трикутника, але і тетраедра. Відрізок, який сполучає вершину тетраедра з центроїдів (точкою перетину медіан) противолежащей грані називається медіаною тетраедра. Ми так само розглянемо властивість медіан тетраедра.
Медіани використовуються в математичній статистиці. Наприклад, для знаходження середнього значення деякого набору чисел.
1. Медіани трикутника та їх властивості
Як відомо, медианами трикутника називаються відрізки, що з'єднують його вершини з серединами протилежних сторін. Всі три медіани перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 1:2.
Точка перетину медіан є також центром ваги трикутника. Якщо підвісити картонний трикутник в точці перетину його медіан то він буде перебувати в стані рівноваги
Цікаво, що вcі шість трикутників, на які всякий трикутник розбивається своїми медианами, мають однакові площі.
Медіани трикутника через його боку виражаються так:
,
,
.
Якщо дві медіани перпендикулярні, то сума квадратів сторін, на які вони опущені, в 5 разів більше квадрата третьої сторони.
Побудуємо трикутник, сторони якого рівні медіані даного трикутника, тоді медіани побудованого трикутника будуть рівні 3/4 сторін первісного трикутника.
Даний трикутник назвемо першим, трикутник з його медіан - другим, трикутник з медіан другого - третім і т. д. Тоді трикутники з непарними номерами (1,3, 5, 7, ...) подібні між собою і трикутники з парними номерами (2, 4, 6, 8, ...) також подібні між собою.
Сума квадратів довжин всіх медіан трикутника дорівнює Вѕ суми квадратів довжин його сторін.
2. Відкриття німецького математика Г. Лейбніца
Знаменитий німецький математик Г. Лейбніц виявив чудовий факт: сума квадратів відстаней від довільної точки площини до вершин трикутника, лежачого в цій площині, дорівнює сумі квадратів відстаней від точки перетину медіан до його вершин, складеної з потрійним квадратом відстані від точки перетину медіан до обраної точки.
З цієї теореми випливає, що точка на площині, для якої сума квадратів відстаней до вершин даного трикутника є мінімальною, - це точка перетину медіан цього трикутника.
В той же час мінімальна сума відстаней до вершин трикутника (а не їх квадратів) буде для точки, з якої кожна сторона трикутника видно під кутом в 120 В°, якщо жоден з кутів трикутника не більше 120 В° (точка Ферма), і для вершини тупого кута, якщо він більше 120 В°.
З теореми Лейбніца і попереднього твердження легко знайти відстань d від точки перетину медіан до центру описаної окружності. Дійсно, це відстань по теоремі Лейбніца одно корню квадратному з однієї третини різниці між сумою квадратів відстаней від центру описаного кола до вершин трикутника і сумою
Квадратів відстаней від точки перетину медіан до вершин трикутника. Отримуємо, що
.
Точка М перетину медіан трикутника AВС є єдиною точкою трикутника, для якої сума векторів МА, MB і МС дорівнює нулю. Координати точки М (щодо довільних осей) дорівнюють середнім арифметичним відповідних координат вершин трикутника. З цих тверджень можна отримати доказ теореми про медіану.
3. Застосування медіан в математичній статистиці
Медіани бувають не тільки в геометрії, але і в математичній статистиці. Нехай потрібно знайти середнє значення деякого набору чисел,, ..., а п . Можна, звичайно, за середнє прийняти середнє арифметичне
Але іноді це незручно. Припустимо, що потрібно визначити середній зріст другокласників Москви. Опитавши навмання 100 школярів і запишемо їх зростання. Якщо один з хлопців жартома скаже, що його зріст дорівнює кілометру, то середнє арифметичне записаних чисел виявиться занадто великим. Набагато краще в як середній взяти медіану чисел , ..., а п .
Припустимо, що чисел - парне кількість, і розставимо їх в неубивающей порядку. Число, опинилося на середньому місці, називається медіаною набору. Наприклад, медіана набору чисел 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 дорівнює 2 (а середнє арифметичне значно більше - воно дорівнює 6).
4. Медіани тетраедра
Виявляється, можна говорити про медіану не тільки для трикутника, але і для тетраедра. Відрізок, який сполучає вершину тетраедра з центроїдів (точкою перетину медіан) противолежащей грані, називається медіаною тетраедра . Як і медіани трикутника, медіани тетраедра перетинаються в одній точці, центрі мас або центроїдів тетраедра, але ставлення, в якому вони діляться в цій точці, інше - 3:1, рахуючи від вершин. Ця ж точка лежить і на всіх відрізках, з'єднують середини протилежних ребер тетраедра, його бімедіанах , і ділить їх навпіл. Це можна довести, наприклад, з механічних міркувань, помістивши в кожну з чотирьох вершин тетраедра важки одиничної маси.
5. Шість доказів теореми про медіану
Давно відмічено, що познайомитися з різними рішеннями однієї задачі буває корисніше, ніж з однотипними рішеннями різних завдань. Однією з теорем, що допускають, як і багато інших класичні теореми елементарної геометрії, кілька повчальних доказів, є
Теорема про медіану трикутника. Медіани, В і С трикутника ABC перетинаються в деякій точці М, причому кожна з них ділиться цією точкою у відношенні 2:1, рахуючи від вершини:
У всіх приводяться далі доказах, крім шостого, ми встановлюємо тільки, що медіана В проходить через точку М, яка ділить медіану А в відношенні 2:1. Якщо у відповідному міркуванні замінити відрізок В на відрізок С, то ми отримаємо, що і З проходить через М. Цим буде доведено, що всі три медіани перетинаються в деякій точці М, причому АМ: М - 2. Оскільки всі медіани рівноправні, можна замінити А на В або...
