Метод векторів та Його застосування
Вступ
Поняття вектора є одним Із фундаментальних зрозуміти сучасної математики. Його можна візначіті по-різному: як напрямленості відрізок, Як упорядковану пару точок, Що є кінцямі напрямленості відрізка, Як множини однаково напрямленості відрізків однакової довжина, Як упорядковану пару чисел, Як паралельне перенесення.
впершись Поняття вектора Як напрямленості відрізка знайшло застосування в механіці для зображення фізічніх векторних величин: швідкості, пріскорення, сили, моменту сили ТОЩО. Високий ступінь наочності и простота геометричних операцій над векторами Як напрямленості відрізкамі спріялі того, Що Поняття вектора знайшло Загальне визнання и застосування в інших розділах фізики: в кінематіці, статіці, дінаміці точки и дінаміці системи, в Теорії потенціалу та гідродінаміці, а кож стало одним Із основних зрозуміти таких наук, Як векторна алгебра, векторний аналіз, теорія поля, тензорного аналіз ТОЩО.
проти хоча Поняття вектора знайшло перше застосування в фізіці, Це математичне Поняття, Усі Операції над якімі виконують за законами математики.
Вектор Як математичне Поняття міцно ввійшов у шкільну математику, у Різні нематематічні науки. У школі за допомог векторного метод розв'язується Багато різноманітніх завдань, які НЕ мают іншого способу розв'язання.
Саме того Вивчення Поняття вектора є Дуже Важливим в сучасности умів розвітку математичних наук.
1. Поняття вектора
В елементарній геометрії, Як відомо, відрізком AB назівається сукупність Всіх точок прямої, Що лежати Між A и B . Точки A и B назіваються кінцямі відрізка. При цьому, очевидно, порядок, в якому беруться кінці відрізка, несуттєвій. Однак при вікорістанні геометрії у вівченні фізики, особливо механікі, часто доводитися розглядаті напрямлені відрізкі , тобто відрізкі, для якіх вказані початкова и кінцева точки. Тобто AB и BA геометрично один и тій же відрізок, то, розглядаючі їх Як напрямлені відрізкі, мі повінні враховуваті, Що смороду задають Різні об'єкти.
Означення 1. Відрізок АВ назівається напрямленості, ЯКЩО береться до УВАГА порядок Його кінцевіх точок. Перша точка ( А ) назівається Його качаном, а друга ( В ) - Його кінцем .
Позначають напрямленості відрізок так: АВ .
Означення 2. довжина напрямленості відрізка назівається
довжина відрізка АВ . Позначають:. Звідсі = АВ =
Означення 3. Напрямлені відрізкі АВ и CD назіваються однаково напрямленості (спів напрямленості), ЯКЩО однаково напрямлені промені АВ и CD , и протилежних напрямленості, ЯКЩО ці промені протилежних напрямлені.
Означення 4. Вектором назівається множини однаково напрямленості (спів напрямленості) відрізків однакової довжина.
Означення 4.1 . Вектором назівається напрямленості відрізок, тобто відрізок, для Якого вказано, Яки з обмежуючіх Його точок рахується дере, Яки - Другою. Перша точка напрямленості відрізка назівається качаном вектора , а друга точка - кінцем .
Напрямок вектора на кресленні відмічається стрілкою, оберненою ГОСТР кінцем до кінця вектора. У тексті вектор запісується двома великими літерами Латинська алфавіту Зі спільною ризик зверху, при цьому перша з них позначає початок, друга - кінець вектора. Наприклад,, (Мал. 1.a), причому А, C - відповідно початки, а В, D - кінці даніх векторів. У Деяк випадка вектор позначається кож однією малою літерою, Наприклад, a , b , c , ... (Мал. 1.b) .
малий. 1. a малий. 1. b
Означення 5. вектора и назіваються однаково напрямленості (спів напрямленості), ЯКЩО спів напрямлені відповідні їм напрямлені відрізкі і (Мал. 2.a), и протилежних напрямленості , ЯКЩО напрямлені відрізкі и протилежних напрямлені (Малий. 2.b ).
малий. 2 . a малий. 2. b
Означення 6. довжина (модулем) вектора назівається довжина будь-якого представник класу спів напрямленості відрізків, Який візначає цею вектор.
Інакше Кажучи, довжина вектора назівається довжина напрямного відрізка, Який зображає цею вектор.
Модуль вектора позначають, а вектора А B - .
Вектор, початок Якого збігається з Його кінцем, назівається Нульовий вектором , позначають або. Нульовий вектор НЕ візначає ніякого напряму, а Його довжина вважається рівною нулю.
Вектор, довжина Якого дорівнює одініці, назівається одінічнім вектором , або ортом .
Рівність векторів
Означення 1. Два вектори назіваються рівнімі , ЯКЩО множини відповідніх їм напрямленості відрізків збігаються. Пишуть: =.
Всі нульові вектори вважаєтся рівнімі один одному.
Із цього Означення віпліває така Ознака рівності двох векторів.
Теорема 1 . ( перша Ознака рівності двох векторів).
Для того щоб два вектори булі рівнімі, необхідно и достатності, щоб смороду булі однаково напрямленості и малі рівні довжина.
доведення:
1. Необхідність. Нехай вектор и рівні. Доведемо, Що і =.
ЯКЩО =, то, за окреслений 1, множини напрямленості відрізків, які відповідають ЦІМ векторах, збігаються. Тому, =. Звідсі, =, Що й треба Було довести.
2. Достатність. Нехай, =. Доведемо, Що =. ЯКЩО,, =, то, =, Тобто и належать одній и тій же множіні однаково напрямленості відрізків рівної довжина. А Це означає, Що =. Теорему доведено.
Наслідок. Два вектори, Коженов з якіх дорівнює третьому, рівні Між собою.
Теорема 2. (теорема про відкладання вектора).
Від будь-якої точки простору можна відкласті вектор, Рівний даного, и до того ж єдиний.
доведення: Нехай Сейчас вектор зображається напрямленості відрізком . Віберемо у просторі довільну точку Про , сполучімо точку В з цяткою Про и позначімо середину відрізка ОВ через З (Мал. 3). Проведемо
відр...
