Введення
Математичне освіта, здобута в загальноосвітній школі, є найважливішим компонентом загальної освіти та загальної культури сучасної людини. Практично все, що оточує сучасну людину - це все так чи інакше пов'язано з математикою. А останні досягнення у фізиці, техніці і інформаційних технологіях не залишають жодного сумніву, що і в майбутньому стан речей залишиться колишнім. Тому вирішення багатьох практичних завдань зводиться до вирішення різних видів рівнянь, які необхідно навчитися вирішувати.
В елементарної математики виділяють два види рівнянь: алгебраїчні і трансцендентні. До алгебраїчним рівнянням відносяться:
1. лінійне;
2. квадратне;
3. кубічне;
4. біквадратное;
5. рівняння четвертого ступеня загального вигляду;
6. двочленну алгебраїчне рівняння n-го ступеня;
7. ступовий алгебраїчне;
8. - Поворотне (алгебраїчне);
9. - Алгебраїчне рівняння ой ступеня загального вигляду;
10. дробові алгебраїчні рівняння, тобто рівняння, містять многочлени і алгебраїчні дроби (дроби виду, де і - многочлени);
11. ірраціональні рівняння, тобто рівняння, що містять радикали, під якими розташовуються многочлени і алгебраїчні дроби;
12. рівняння, містять модуль, під модулем яких містяться многочлени і алгебраїчні дробу.
Рівняння, містять трансцендентні функції, такі, як логарифмічна, показова або тригонометрическая функція, називаються трансцендентними. У нашій роботі розглянемо докладніше алгебраїчні рівняння.
У навчальній і методичній літературі традиційно розглядаються спеціальні прийоми рішення рівнянь. Між тим специфіка розв'язання рівнянь кожного розділу - справа другорядне. По суті, застосовуються чотири основні методи:
• заміна рівняння h (F (x)) = h (g (x)) рівнянням f (x) = g (x);
• метод заміни змінної;
• метод розкладання на множники;
• функціонально-графічний метод і їх різні модифікації.
Самий Найпоширеніший з них - метод заміни змінної.
Виходячи з цього, ми формулюємо мету своєї роботи: вивчити можливості методу заміни невідомого при вирішенні алгебраїчних рівнянь і продемонструвати їх застосування в стандартних та нестандартних ситуаціях. Для того, щоб досягти поставленої мети необхідно вирішити наступні завдання:
1. Розкрити зміст основних понять та тверджень, що відносяться до теорії розв'язання рівнянь: рішення рівняння, равносильность і наслідок, загальні методи вирішення рівнянь.
2. Виявити можливості застосування методу заміни невідомого при вирішенні алгебраїчних рівнянь в стандартних і нестандартних ситуаціях.
3. Здійснити типізацію прийомів введення нових невідомих при розв'язуванні алгебраїчних рівнянь і виявити критерії їх застосовності
4. Скласти комплект типових завдань, що зводяться до застосування методу заміни при вирішенні рівнянь, і продемонструвати їх рішення.
1. Основні поняття і твердження, що відносяться до теорії розв'язання рівнянь
У першій главі нашої роботи розкриємо зміст основних понять та тверджень, відносяться до теорії розв'язання рівнянь.
З поняттям «гвнянняВ» на уроках математики ми знайомимося вже в початковій школі, а завдання В«Розв'язати рівнянняВ», ймовірно, найбільш часто зустрічається завдання. Тим не менше дати точне визначення поняття В«рівнянняВ», точно визначити, що означає В«Розв'язати рівнянняВ», не виходячи далеко за рамки курсу елементарної математики, ми не можемо. Для цього необхідно залучати досить серйозні логічні і навіть філософські категорії. Нам цілком достатньо знайомства з цими поняттями на рівні В«здорового глуздуВ».
Розглянемо два рівняння А і В з одним і тим же невідомим. Ми будемо говорити, що рівняння В є наслідком рівняння А, якщо будь корінь рівняння А є коренем рівняння В.
Рівняння називаються рівносильними, якщо будь корінь одного з них є коренем іншого і навпаки. Таким чином, рівняння рівносильні, якщо кожне з них є наслідком іншого.
З даних визначень випливає, наприклад, що два рівняння, що не мають рішень, рівносильні. Якщо А не має рішень, то В є наслідком А, яке би не було рівняння В.
Визначимо поняття В«розв'язати рівнянняВ». Вирішити рівняння - значить знайти всі такі значення назв невідомих, які звертають рівняння в тотожність. Ці значення називаються коренями рівняння.
Процес розв'язання рівнянь полягає в основному в заміні даного рівняння іншим, йому рівносильним.
Як було раніше сказано, виділяють чотири найбільш загальних методу, використовуваних при вирішенні рівнянь будь-яких видів. Зупинимося докладніше на кожному методі.
Метод заміни рівняння h (F (x)) = h (g (x)) рівнянням f (x) = g (x) можна застосовувати тільки в тому випадку, коли - монотонна функція, яка кожне своє значення приймає по одному разу. Якщо дана функція немонотонний, то зазначений метод застосовувати не можна, оскільки можлива втрата коренів.
Суть методу розкладання на множники полягає в наступному: рівняння можна замінити:
Вирішивши рівняння цієї сукупності, потрібно взяти ті їх коріння, які належать області визначення вихідного рівняння, а інші відкинути як сторонні. Ідея графічного методу рішення рівняння така: потрібно побудувати графіки функцій, і знайти точки їх перетину. Корінням рівняння служать абсциси цих точок. Цей метод дозволяє визначити число коренів рівняння, вгадати значення кореня, знайти наближені, а іноді і точні значення коренів. У деяких випадках побудова графіків функцій можна замінити посиланням на якісь властивості функцій (тому-то ми говоримо не про графічному, а про функціонально-графічному методі рішення рівнянь). Якщо, наприклад, одна з функцій зростає, а інша - убуває, то рівняння або не має коренів, або має один корінь. Згадаємо ще одну досить красиву різновид функціонально-графічного методу: якщо на проміжку найбільше значення однієї з функцій, так само і найменше значення іншої функції теж одно, то рівняння рівносильне на проміжку системі рівнянь.
Розкриємо суть методу заміни змінної: якщо рівняння вдалося перетворити до вигляду то потрібно ввести нову змінну, вирішити рівняння, а потім вирішити сукупність рівнянь
де корені рівняння.
Уміння вдало ввести нову змінну приходить з досвідом. Вдалий вибір нової змінної робить структуру рівняння більш прозорою. Нова змінна іноді очевидна, іноді кілька завуальована, але В«відчуваєтьсяВ», а іноді В«проявляєтьсяВ» лише в процесі перетворень. Очевидність і В«завуалированностьВ» нової змінної ми розглянемо на конкретних прикладах у другому розділі даної роботи.
2. Можливості застосування методу заміни невідомого при вирішенні алгебраїчних рівнянь
У цій главі виявимо можливості застосування методу заміни невідомого при вирішенні алгебраїчних рівнянь в стандартних і нестандартних ситуаціях. Спочатку зупинимося на випадках, де заміна очевидна.
Приклад 1. Вирішити ірраціональне рівняння
Заміна:
Зворотній заміна:/
Відповідь:
Приклад2. Розглянемо рівняння, містить знак модуля:
Заміна:
Зворотній заміна: коренів немає,
Відповідь:
Приклад 3. Вирішити рівняння: 7
Заміна:
Зворотній заміна:
,, коренів немає.
Відповідь:
Приклад 4. Вирішимо біквадратное рівняння: за допомогою заміни:
або сторонній корінь.
Зворотній заміна:
Відповідь:
Звертаємо увагу на те, що біквадратное рівняння має ...
