1. Метод Лобачевського-Греффе розв'язання рівнянь (Віпадок дійсніх коренів)
1.1 Загальні Властивості алгебраїчніх рівнянь
Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступенів (n ≥ 1)
, (1)
де коефіцієнті a0, a1, ..., an - дійсна числа, причому a0 в‰ 0.
У загально випадка вважатімемо перемінну x вважатімемо комплексно.
Головна теорема алгебри. Алгебраїчне рівняння n-ного ступенів (1) має Рівно n коренів, дійсніх або комплексних, при умові, Що Коженов корінь рахується стількі разів, Яка Його Кратність.
При цьому кажуть, Що корінь Оѕ рівняння (1) має Кратність s, ЯКЩО
,
. (Символи над P означають похідні)
Комплексні корені рівняння (1) володіють властівістю парної сполученості.
Теорема. ЯКЩО коефіцієнті алгебраїчного рівняння (1) - дійсна, то комплексні корені цього рівняння попарно комплексно-Сполучені, тобто ЯКЩО
(О±, ОІ - дійсна) є коренем рівняння (1) кратності s, то число
кож є коренем цього рівняння та має ту ж Кратність s.
Відзначімо, Що модулі ціх коренів однакові:
.
ЯКЩО x1, x2, ..., xn - корені рівняння (1), то для лівої частин Його Вірний розклад
. (2)
Звідсі, роблячі перемноження біномів в формулі (2) i прірівнюючі коефіцієнті при однакових ступенях x в лівій та правій частіні рівняння (2), отрімаємо співвідношення Між корінними та коефіцієнтамі Між корінними та коефіцієнтамі рівняння:
(3)
Ліві Частина рівняння (3) представляють собою суми сполучень коренів рівняння (1) по одному, по два и т. д. з n.
Приклад. Корені x1, x2, x3 кубічного рівняння
x3 + px2 + qx + r = 0
задовольняють умови:
ЯКЩО враховуваті Кратність коренів, то розкладання (2) пріймає Вигляд
,
де x1, x2, ..., xm (m ≤ n) - Різні корені рівняння (1) ї О±1, О±2, ..., О±m - їх кратності, причому
О±1 + О±2 + ... + О±m = n.
Похідна віражається Наступний чином:
,
де Q (x) - поліном такий, Що
Q (x) в‰ 0 при k = 1, 2, ..., m.
Тому поліном
є найбільшім загально дільніком поліному P (x) i Його похідної P '(x). Як відомо, поліном R (x) Може буті знайденій за допомог алгоритмом Евкліда. Складаючі відношення
,
отрімаємо поліном
з дійснімі коефіцієнтамі A0 = a0, A1, ..., Am, корені Якого x1, x2, ..., xm Різні.
1.2 Постановка Задачі методу
Дано алгебраїчне рівняння n-ного ступенів:
знайте корені рівняння (тобто ВСІ Значення змінної x, при якіх рівняння вірне).
1.3 Ідея методу
Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступенів
, (1)
де. Пріпустімо, Що корені рівняння (1) x1, x2, ..., xn Такі, Що
, (2)
тобто корені Різні за модулем, при Чому модуль шкірного Попередня кореня однозначно більшій модуля Наступний. Іншімі словами, мі пріпускаємо, Що відношення будь-яких двох сусідніх коренів, рахуючи у порядку спадання їх номерів, є величина, мала за модулем, тобто
(3)
де | k | <та - мала величина. Такі корені для кратності назіватімемо відділенімі (треба зауважіті, Що в загальному випадка Це можут буті Як дійсна так и комплексні корені).
Скорістаймося тепер співвідношеннямі Між Корінні та коефіцієнтамі рівняння (1)
Звідсі в силу припущені (3) мі отрімуємо:
(4)
де E1, E2, ..., En - малі за модулем величини у порівнянні з одиницею. Нехтуючі в рівностях (4) величинами Ek (k = 1, 2, ..., n), будемо мати набліжені відношення
(5)
Звідсі знаходимо шукані корені
(6)
Щоб досягті відділення коренів, Весь спектр з рівняння (1), складають перетвореності рівняння
, (7)
корінь Якого y1, y2, ..., yn є m-ті ступені коренів x1, x2, ..., xn рівняння (1), тобто
yk = xkm (k = 1, 2, ..., n). (8)
ЯКЩО корені рівняння (1), які мі вважаємо розташованімі у порядку спадання модулів, є різнімі за модулем, то корені рівняння (7) при Досить Великій степені m Будуть відділенімі, ТОМУ ЩО
при.
Наприклад, нехай
x1 = 2; x2 = 1,5; x3 = 1.
При m = 100 матімемо:
y1 = 1,27 * 1030; y2 = 4,06 * 1017; y1 = 1 і, відповідно,.
Зазвічай в ЯКОСТІ № сертифіката m беруть ступінь числа 2, тобто вважають m = p2, де p - натуральне число, а самє перетворення роблять у p прійомів, Коженна раз складаючі рівняння, корінь Якого є квадрат коренів Попередня рівняння.
Набліжено Обчислено корені yk (k = 1, 2, ..., n), з формул (8) можна візначіті и корені віхідного рівняння (1). Точність обчисления поклади від того, наскількі малим є відношення модулів сусідніх коренів перетвореності рівняння.
Ідея цього методу обчислення коренів належиться Лобачевському, практично Зручний схема обчисления Була запропонована Греффе.
Достоїнством методу Лобачевського-Греффе є ті, Що при вікорістанні цього методу Немає необхідності ізолюваті корені. Треба Ліше позбавітіся от кратних коренів. Саме обчислення коренів ведеться Регулярно способом. Метод прідатній кож для знаходження комплексних коренів. Незручність методу полягає в необхідності оперування з Досить великими числами. Крім того, відсутній достатності надійний контроль обчисления ї ускладнено Оцінка точності отриманого результату.
Зауважімо, Що ЯКЩО корені рівняння (1) Різні, альо модулі Деяк з них блізькі Між собою, то збіжність методу Лобачевського-Греффе Досить повільна. У цьому випадка Такі корені Варто розглядаті Як рівні за модулем и вікорістовуваті спеціальні прійоми обчислення.
1.4 Процес квадратування коренів
Покажемо тепер, Як можна просто скластись рівняння, корінь Якого є квадрат коренів даного алгебраїчного рівняння, взяті Зі знаком мінус. Остання обставинних віклікається міркуваннямі зручності, щоб за можлівістю унікнуті появи від'ємніх коефіцієнтів. Процес переходу від коренів xk (k = 1, 2, ..., n) до коренів
yk =-xk2 (1)
для короткості зватімемо квадратуванням коренів.
Нехай
P (x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an = 0
- дяни рівняння, де a0 в‰ 0.
Позначуючі через x1, x2, ..., xn корені цього рівняння, матімемо:
P (x) = a0 (x-x1) (x-x2) ... (x-xn).
Звідсі
P (-x) = (-1) na0 (x + x1) (x + x2) ... (x-xn).
Відповідно,
P (x) P (-x) = (-1) na02 (x2-x12) (x2-x22) ... (x2-xn2). (2)
Вважаючі
y =-x2
в наслідок формули (2) отрімаємо поліном
Q (y) = P (x) P (-x),
корінь Якого є числа
yk =-xk2 (k = 1, 2, ..., n).
Так Як
P (-x) = (-1) n (a0xn-a1xn-1 + a2xn-1-... + (-1) nan),
те, роблячі перемноження поліномів P (x) i P (-x), матімемо:
P (x) P (-x) = (-1) n (a02x2n-(a12-2a0a2) x2n-2 + (a22-2a1a3 +2 a0a4) x2n-4-... + (-1) nan2 ).
Відповідно, рівнянням, Що цікавіть нас є
Q (x) = A0yn + A1yn-1 + A2yn-2 + ... + An = 0
де
A0 = a02,
A1 = a12-2a0a2,
A2 = a22-2a1a3 +2 a0a4,
...
An = an2.
Правило: При квадрату ванні коренів Коженна коефіцієнт перетвореності рівняння дорівнює квадрату Попередня коефіцієнта, мінус подвоєній добуток сусідніх Із ним коефіцієнтів, плюс подвоєній добуток слідуючих в порядку блізькості коефіцієнтів и т. д., причому ЯКЩО потрібній коефіцієнт відсутній, то ВІН вважається рівнім нулю.
1.5 Використання методу для випадка дійсніх різніх корені
Нехай корені x1, x2, ..., xn рівняння n-ного ступенів з дійснімі коефіцієнтамі
(1)
дійсна и Різні за модулем. Розташуймо їх в порядку спадання модулів:
.
Покроково вікорістовуючі метод квадратування коренів, складемо рівняння
, (2)
корінь Якого слугують числа
(...
